Körper & Verknüpfung

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blingbang Auf diesen Beitrag antworten »
Körper & Verknüpfung
Guten Abend,

ich bräuchte mal etwas Hilfe bei Körpern zu denen Verknüpfungen vorgegeben sind.

Es sei (K,+,*) ein Körper mit Addition +, Multiplikation * und Nullelement 0 sowie Einselement 1.

a)
Zeigen Sie, dass die Menge K mit den Verknüpfungen und gegeben durch x=x+y+1 und xy=x+y+x*y für x,yK zu einem Körper (K, , )
Das Null- bzw. Einselement in (K,,) stimmt nicht mit (K,+,*) überein.

b) Lässt sich auf K eine Ordnungsrelation so definieren dass (K,,) ein geordneter Körper wird?

-------

a)
Ich suche bei a) jetzt das Null- und Einselement. Mir ist nicht so recht klar wie x+y=x+y+1 sein kann. Wo kommt bei x=x und y=y die 1 her? Eine Verknüpfungstabelle ist nicht gefragt oder?

Für Addition hätte ich da:

0 1 x y
0 0 1 x y

1 1 0 x+1 y+1

x x+1 0 0 x+y+1

y y y+1 x+y+1 0

Macht aber nicht recht Sinn, da eigentlich ja nur die gegeben Elemente auftauche dürfen...
P.S. kann ich Tabellen im Forumsfenster nutzen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper & Verknüpfung
Zitat:
Original von blingbang
Guten Abend,

ich bräuchte mal etwas Hilfe bei Körpern zu denen Verknüpfungen vorgegeben sind.

Es sei (K,+,*) ein Körper mit Addition +, Multiplikation * und Nullelement 0 sowie Einselement 1.

a)
Zeigen Sie, dass die Menge K mit den Verknüpfungen und gegeben durch x=x+y+1 und xy=x+y+x*y für x,yK zu einem Körper (K, , )
Das Null- bzw. Einselement in (K,,) stimmt nicht mit (K,+,*) überein.

b) Lässt sich auf K eine Ordnungsrelation so definieren dass (K,,) ein geordneter Körper wird?

-------

a)
Ich suche bei a) jetzt das Null- und Einselement. Mir ist nicht so recht klar wie x+y=x+y+1 sein kann. Wo kommt bei x=x und y=y die 1 her?

die 1 ist das einselement aus dem körper .

Zitat:
Original von blingbang
Eine Verknüpfungstabelle ist nicht gefragt oder?


da dein körper unter umständen unendlich ist wird eine verknüpfungstabelle auch nicht ganz so einfach.....

Zitat:
Original von blingbang
Für Addition hätte ich da:

0 1 x y
0 0 1 x y

1 1 0 x+1 y+1

x x+1 0 0 x+y+1

y y y+1 x+y+1 0

Macht aber nicht recht Sinn, da eigentlich ja nur die gegeben Elemente auftauche dürfen...
P.S. kann ich Tabellen im Forumsfenster nutzen?


was du hier machst sehe ich nicht...

fang am besten mal damit an, zu zeigen, dass eine abelsche gruppe ist...

das neutrale der operation findet man, wenn man sich überlegt, dass sein soll, das neutrale element der multiplikationa analog, es soll sein .
blingbang Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviele Elemente hat mein Körper denn?

scheint zu bewirken, dass das Element (z.B. y) + 1 dem x zugefügt wird.
Wäre -1 jetzt z.B. mein Nullelement?

Bei das Einselement "-1-x"?

Kann vielleicht jemand mal ein Beispiel für sowas geben?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

lass uns mal damit anfangen, zu zeigen, dass es sich tatsächlich um einen körper handelt....

es ist richtig:

damit gilt muss gelten , damit wäre das das additiv neutrale element....

jetzt prüfen wir, ob eine abelsche gruppe ist, gilt zum beispiel das assoziativgesetz, ist abgeschlossen, existiert ein y mit x+y=-1 und gilt das kommutativgesetz?
blingbang Auf diesen Beitrag antworten »

Ein echter Erfolg.

Ist das Einselement dann 0?
Da xy = x ... also y+x*y=0 und folglich y=0 ?

Ich glaube ich soll "einfach" die neun(?) Körperaxiome prüfen. Von abelscher Gruppe ist bisher nichts erwähnt worden. Werde ich mich mal ranmachen und dann nochmal hier einstellen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blingbang
Ein echter Erfolg.

Ist das Einselement dann 0?
Da xy = x ... also y+x*y=0 und folglich y=0 ?

das ist richtig

Zitat:
Original von blingbang
Ich glaube ich soll "einfach" die neun(?) Körperaxiome prüfen. Von abelscher Gruppe ist bisher nichts erwähnt worden. Werde ich mich mal ranmachen und dann nochmal hier einstellen.


schau mal die körperaxiome durch, sicherlich steht da soetwas wie:

assoziativgesetz der addition, existenz des additiv inversen, existenz des additiv neutralen, kommutativgesetz der addition --> abelsche gruppe bezüglich addition Augenzwinkern
 
 
blingbang Auf diesen Beitrag antworten »

Addition kommutatativ: xy=yx => x+y+1=y+x+1
Addition assoziativ: (xy)z=x(yz) => (x+y+1)z=x(y+z+1) => x+y+1+z+1 = x+y+z+1+1
0 bezeichnetes Element: siehe Nullelement
-x bezeichnetes Element:x(-x) => x-x-1 (das müsste ja Null werden ... wo ist der Fehler?)

Bin ich auf dem richtigen Weg?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blingbang
Addition kommutatativ: xy=yx => x+y+1=y+x+1
Addition assoziativ: (xy)z=x(yz) => (x+y+1)z=x(y+z+1) => x+y+1+z+1 = x+y+z+1+1


hier solltest du noch anmerken, dass die verknüpfung "+" kommutativ ist, warum ist sie das?

Zitat:
Original von blingbang
0 bezeichnetes Element: siehe Nullelement
-x bezeichnetes Element:x(-x) => x-x-1 (das müsste ja Null werden ... wo ist der Fehler?)

das nullelement von ist doch

die imlikationspfeile sind falsch, da gehören gleichheitszeichen hin...

dazu hast du noch nicht gesagt, wie denn das additiv inverse aussieht...

Zitat:
Original von blingbang
Bin ich auf dem richtigen Weg?

ja, bist du...
blingbang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Zitat:
Original von blingbang
0 bezeichnetes Element: siehe Nullelement
-x bezeichnetes Element:x(-x) => x-x-1 (das müsste ja Null werden ... wo ist der Fehler?)

das nullelement von ist doch

die imlikationspfeile sind falsch, da gehören gleichheitszeichen hin...

dazu hast du noch nicht gesagt, wie denn das additiv inverse aussieht...


Beim additiven Inversen hänge ich.
x(-x)=x-x-1=0 ?
Wies soll ich das Inverse da einbauen?



Multiplikation ist kommutativ: xy=yx=x+y+x*y=y*x+y*x
Multiplikation ist assoziativ: (xy)z=x(yz)=(x+y+x*y)z=x(y+z+y*z)=x+y+x*y+z+(x+y+x*y)*z=x+y+z+y*z+x(y+z+y*z)
Existenz Einselement bereits bewiesen
Multiplikatives Inverses: x(1/x)=(x+x+x*x)/(x+x+x*x)

Haut das hin?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

okay, zu den inversen, beginne wir mal mit der addition, wir haben das additiv neutrale, das ist e=-1, nun suchen wir das element y, für das gilt:

, so sieht das inverse zu x in der menge aus...

analog kann man das multiplikativ inverse finden.....

edit: mir fehlt immer noch die begründung, warum

Zitat:
Original von blingbang
Multiplikation ist kommutativ: xy=yx=x+y+x*y=y*x+y*x
Multiplikation ist assoziativ: (xy)z=x(yz)=(x+y+x*y)z=x(y+z+y*z)=x+y+x*y+z+(x+y+x*y)*z=x+y+z+y*z+x(y+z+y*z)
Existenz Einselement bereits bewiesen
Multiplikatives Inverses: x(1/x)=(x+x+x*x)/(x+x+x*x)



du hier für "+" und "*" die kommutativgesetze, assoziativgesetze benutzt, ist eigentlich fast trivial, aber man sollte es dennoch erwähnenen
blingbang Auf diesen Beitrag antworten »

xy=0 => x+y+x*y=0 => y=
Richtig für das multiplikative Inverse?
Passt sonst alles? (die Bemerkung zu +,* Gesetzen schreibe ich hin).

Mal sehen, ob ich mich an b) auch noch rantraue.
Gilt es dort auch "nur" die Axiome zu prüfen?
Versuche es mal.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blingbang
xy=0 => x+y+x*y=0 => y=
Richtig für das multiplikative Inverse?


jap, sollte passen....

etwas spätes edit:

du solltest noch prüfen, bzw, argumentieren, dass ist....
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