Mengen skizzieren komplexe zahlen

18.11.2010, 12:13	serik87	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen skizzieren komplexe zahlen Meine Frage: Hallo, ich muss folgende Menge skizziren: $\begin{eqnarray} M1={z\in C:\|z-i\|=2\|z+i\|} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: so bin ich vorgegangen: $\begin{eqnarray} \|z-i\|=2\|z+i\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|z-i\|^2=4\|z+i\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (z-i)(\bar{z}+i)=4((z+i)(\bar{z}-i)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z\bar{z}+zi-\bar{z}i+1=4z\bar{z}-4zi+4\bar{z}i+4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=3z\bar{z}-5zi+5\bar{z}i+3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=z\bar{z}-(5/3)zi+(5/3)\bar{z}i+1 \end{eqnarray}$ das soll eine Kreisgleichung sein mit dem Mittelpunkt -5/3 und R= $\begin{eqnarray} \sqrt{-(5/3)i(5/3)i-1}= 4/3 \end{eqnarray*}$ die Zahlen sind ein wenig krumm, darum hab ich den Verdacht es sei nicht ganz richtig. Was ist dann eigentlich die Menge? Kreisinnere?
19.11.2010, 17:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die angegebene Lösung dürfte nur bedingt richtig sein. ____________ Deine Umformungen mit dem konjugiert komplexen Komplement kann ich nicht nachvollziehen. Sie bringen dich ausserdem in der Folge ja auch kaum weiter. Bei deiner Rechnung musst du zusehen, dass du letzten Endes von z wegkommst, denn es soll eine Beziehung zwischen der Real- und Imaginärkomponente von z ausgearbeitet werden. Besser, setze gleich zu Anfang $\begin{eqnarray} z = x + iy \end{eqnarray}$ Dann kommt $\begin{eqnarray} \|x + i(y-1)\| = 2 \|x + i(y+1)\| \end{eqnarray}$ Nun quadriere, ordne und dividiere so, dass in der Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 + ... \end{eqnarray}$ erscheinen, das ist das Kennzeichen für eine Kreisgleichung. Mittels quadratischer Ergänzung werden nun die Mittelpunktskoordinaten und der Radius des Kreises bestimmt. Es sollten sich ergeben: $\begin{eqnarray} M(0; -\frac 5 3); \ r = \frac 4 3 \end{eqnarray}$ Wegen des Gleichheitszeichens kommen weder die Bereich innerhalb noch ausserhalb in Betracht. Was bleibt wohl übrig? mY+
20.11.2010, 11:54	serik87	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für die antwort, Hab das ganze nochmal gerechnet und bin das gleiche ergebnis gekommen. Zu meinem ersten Versuch. "Deine Umformungen mit dem konjugiert komplexen Komplement kann ich nicht nachvollziehen. Sie bringen dich ausserdem in der Folge ja auch kaum weiter." Bevor ich die aufgabe angefangen habe, fand ich eine formel $\begin{eqnarray} z\bar{z}-\bar{m}z-m\bar{z}+c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r=\sqrt{m\bar{m}-c} \end{eqnarray*}$ m=Mittelpunkt Darauf hab ich alles aufgebaut.
20.11.2010, 13:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Formel finden, ist gut und schön. Anwenden sollte man sie allerdigs nur dann, wenn man genau weiss, was dahintersteckt. Die Formel mag richtig sein, ich habe das jetzt nicht näher hinterfragt. Ich finde es besser, so zu rechnen, dass man mit den Grundlagen möglichst weit kommt. Essentiell war es, herauszubekommen, dass der Mittelpunkt (0; -5/3) lauten muss und nicht (-5/3). mY+

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