Exponentialverteilung Aufgabe

18.11.2010, 12:18

Wodan

Exponentialverteilung Aufgabe

Hallo
ich bräuchte mal eure Hilfe bei folgender Aufgabe :

Ein Angestellter verlässt an 225 Arbeitstagen sein Büro kurz nach Dienstschluss.
Die Dauer der zusätzlichen Arbeitszeit lässt sich
durch eine exponential–verteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert von 5 Minuten
angemessen beschreiben.
Die ZV seien als stochastisch unabhängig vorrausgesetzt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Angestellt im Jahr mehr als 15 Stunden zusätzlich arbeitet!

Mein Plan war folgender :
Damit der Angestellte im Jahr mehr als 900 Minuten zusätzlich arbeitet, muss er pro Tag mehr als 4 Minuten zusätzlich arbeiten.
Erwartungswert sind 5 Minuten, das bedeutet $\begin{eqnarray*} \lambda = 1/5 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} F_X = 1 - e^{-1/5 * x} \end{eqnarray*}$

P(X>4) = 1 - P(X<4) = $\begin{eqnarray*} 1 - (1 - e^{-1/5 * 4}) = e^{-1/5 * 4} \end{eqnarray*}$ = 0.449 = 44,9%

Ist dies korrekt ?

19.11.2010, 14:30

Mazze

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Du musst hier exakt unterscheiden von welchen Ereignissen gesprochen wird. Die zusätzliche Arbeitszeit ist pro Tag zu sehen, das heisst wir haben 225 unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen :

$\begin{eqnarray*} X_i : \Omega \to \mathbb{R}^+ ~ i \in \{1,2...,225\} \end{eqnarray*}$

mit Erwartungswert 5. Wir definieren die Zufallsvariable

$\begin{eqnarray*} Y = \sum_{i=1}^{225} X_i \end{eqnarray*}$

dann ist Y die zusätzliche Arbeitszeit im Jahr. Dann suchen wir

$\begin{eqnarray*} p(Y \geq 15 \text{ Stunden }) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Damit der Angestellte im Jahr mehr als 900 Minuten zusätzlich arbeitet, muss er pro Tag mehr als 4 Minuten zusätzlich arbeiten.

Er könnte genauso an einem Tag 0 Mehrminuten haben und am Tag darauf 8.

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