Teilmenge komplexe Zahlen veranschaulichen

18.11.2010, 15:12

matheFranzi1990

Teilmenge komplexe Zahlen veranschaulichen

Meine Frage:
hi ich soll folgende Teilmenge veranschaulichen:

G0={z?C)|Im((z-a)/b)=0)
a,b?C, b ist ungleich null

wobei ? dem elementzeichen entspricht und C dem Zeichen der komplexen Zahlen entspricht

Meine Ideen:
Also ich verstehe das so erstmal setzte ich z=a+bi a und b stelle ich nach z um und dann erhalte ich 0=0 das könnte heißen dass es einfach nur ein Punkt im Koordinaten ursprung darstellt,das ist aber sicherlich komplett falsch.
Bitte helft mir.

Danke

18.11.2010, 15:17

Mazze

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a und b sind zwei beliebige aber feste komplexe Zahlen. Du darfst dann nicht einfach

$\begin{eqnarray*} z = a + bi \end{eqnarray*}$

setzen, denn a und b sind bereits definierte Symbole. Besser ist dann zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} z = z_r + iz_i \end{eqnarray*}$

Danach bringst Du den Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{z_r + iz_i - (a_r + ia_i)}{b_r + ib_i} \end{eqnarray*}$

auf die Form x + iy , und kannst dann dessen Imaginärteil nach 0 auflösen.

Als erstes würde ich den Bruch mit dem komplexkonjugierten von b erweitern.

18.11.2010, 15:24

matheFranzi1990

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ok danke das klingt sehr gut ich werd das erstmal probieren und dann meld ich mich nochmal mit der lösung

Danke sehr

18.11.2010, 15:32

matheFranzi1990

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ok

X=(zr*br+bi*zi-ar*br-a*bi)/(br-bi)
y=((-zr*bi+zi*br+bi*ar-ai*br)/(br-bi))i

ist das erstmal so richig?
sorry für die schlechte formatierung bin in der uni und hab kein ordetnliches schreibprogramm

19.11.2010, 09:42

Mazze

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Zitat:

sorry für die schlechte formatierung bin in der uni und hab kein ordetnliches schreibprogramm

Hier im Matheboard gibts auch einen (Latexbasierten) Formeleditor. Rechts unter Werkzeuge gibts einige Befehle (aber längst nicht alle).

Zu deiner Lösung :

Also der Zähler von Y ist soweit ich das sehe richtig. Ich hätte im Zähler aber eher

$\begin{eqnarray*} b_r(z_i - a_i) - b_i(z_r - a_r) \end{eqnarray*}$

geschrieben. Der Nenner ist aber falsch :

$\begin{eqnarray*} \tilde{Z} = \frac{z_r + iz_i - (a_r + ia_i)}{b_r + ib_i} = \frac{(z_r - ar) + i(z_i - a_i)}{b_r + ib_i}\cdot\frac{b_r - ib_i}{b_r - ib_i} = \frac{x + i(b_r(z_i - a_i) - b_i(z_r - a_r))}{\|b\|^2} \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} b\overline{b} = \|b\|^2 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt für den Imaginärteil :

$\begin{eqnarray*} \Im(\tilde{Z}) = \frac{b_r(z_i - a_i) - b_i(z_r - a_r)}{\|b\|^2} \end{eqnarray*}$

Ich habe bewusst drauf verzichtet, den Realteil explizit hinzuschreiben, da wir lediglich den Imaginärteil brauchen.

19.11.2010, 16:12

matheFranzi1990

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ok, wenn ich diesen Ausdruck nun nach 0 umstelle erhalte ich eine Kreisgleichung richtig?
Die Aufgabe war ja, dass man sagen soll welche geometrische Figur sich daraus ergibt, d.h. für gleich 0 erhalte ich die Kreislinie, für größer null, allles was außerhalb des kreises ist und für kleiner 0 alles was innerhalb des kreises ist, richtig ?

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