Gruppentheorie

18.11.2010, 15:47

Pedda

Gruppentheorie

Meine Frage:
Es seien [latex](G,\circ)[\latex] eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und H eine Untergruppe von G. Zeigen sie:

...

c.) Für alle [latex]g \in G[\latex] gilt: [latex]g^{|G|} = e[\latex].

d.) Für |G| > 1 gilt: |G| ist genau dann eine Primzahl, wenn {e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.

Wir haben bereits gezeigt, dass |H| |G| teilt.

Meine Ideen:
Meine Idee zur Lösung von c. ist, dass man den Satz von Lagrange anwendet. Ich würde das aber lieber ohne diesen Satz beweisen.

Bei d. habe ich noch keine Ahnung.

18.11.2010, 15:52

Pedda

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RE: Gruppentheorie

Zitat:

Original von Pedda
Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} (G,\circ) \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und H eine Untergruppe von G. Zeigen sie:

...

c.) Für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} g^{|G|} = e \end{eqnarray*}$ .

d.) Für |G| > 1 gilt: |G| ist genau dann eine Primzahl, wenn {e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.

Wir haben bereits gezeigt, dass |H| |G| teilt.

Meine Ideen:
Meine Idee zur Lösung von c. ist, dass man den Satz von Lagrange anwendet. Ich würde das aber lieber ohne diesen Satz beweisen.

Bei d. habe ich noch keine Ahnung.

$\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$

18.11.2010, 17:18

tmo

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Da c) äquivalent zu $\begin{eqnarray*} |H| | |G| \end{eqnarray*}$ (also der Satz von Lagrange) ist, bietet es sich an, das zu benutzen.

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