Induktion+Peano Axiome

15.11.2006, 18:37

Gast123

Induktion+Peano Axiome

Hallöchen,
da hab ich gedacht, ich hät mal eine einfache Aufgabe erwischt, aber nun ist sie doch umfangreicher bzw. schwerer als gedacht:

Man zeige durch Induktion: 1 besitzt keinen Vorgänger.
(Wir sollen für diese Aufgabe eigentlich die Peano Axiome benutzen)

Naja, ich hab da so einfach gedacht:
n= 1, der Nachfolger von 1 ist nicht 1

n= n+1 (n $\begin{eqnarray*} \in M \Rightarrow S(n)\in M \end{eqnarray*}$
n+1 = S(n) ist wieder nicht Vorgänger von 1 sondern Nachfolger.

Nun wurde ich Beispielhaft darauf gestoßen, dass das ja zum Beispiel in Z5 nicht klappen würde, wobei wir uns hier zwar in den Natürlichen Zahlen befinden.

In der Vorlesung haben wir uns folgendes Bsp. notiert:
n+1 = S(n)
n + S1 = S(n+1) = SSn
n+SS1 = S(n+S1) = S(SSn) = SSSn

Aber damit komm ich auch nicht weiter.
Kann mir hier vielleicht einer weiter helfen???

15.11.2006, 19:03

Mathespezialschüler

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Wie lauten denn bei euch die Peano-Axiome?

Gruß MSS

15.11.2006, 19:32

Gast123

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Also, benutzen sollen wir die folgende Formulierung der Peano Axiome:

(P) Es gibt eine Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , zusammen mit einer injektiven Abbildung S: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \Rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ und folgender Eigenschaftne, dem sogenannten Induktionsaxiom:

Ist M c $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und gilt
a) 1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M
b) n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M daraus folgt S(n) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M

so folgt M = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Ist n $\begin{eqnarray*} \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so nennt man S(n) auch den Nachfolger von n und n den Vorgänger von S(n).

Naja, und das ganze dann durch Induktion.
Das ist schon wieder so einleuchtend, dass 1 keinen Vorgänger besitzt, dass ich es nicht aufs Blatt bekomme...

15.11.2006, 22:25

papahuhn

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Sind das wirklich alle Axiome, die ihr aufgeschrieben habt? Das was du hier geschrieben hast, passt auch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N := \{1\}, S(1) = 1 \end{eqnarray*}$ . Und da hat die 1 einen Vorgänger...

16.11.2006, 12:02

Gast123

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Aufgeschrieben haben wir auch die 5Axiome, die man zum Bsp. bei wikipedia findet, aber das was ich oben reingeschrieben habe steht nochmal explizit mit auf dem Übungsblatt.
Und leider bin ich mit der Aufgabe immer noch nicht weiter...

16.11.2006, 12:04

papahuhn

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Wenn ihr die anderen 5 Axiome auch aufgeschrieben habt, gibts nichts zu beweisen, weil die zu beweisende Aussage ein Axiom ist.

16.11.2006, 15:17

Noch ein Gast

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Ja, das wäre echt schön leicht, dass Problem ist, dass wir nach der Definition oben vorgehen müssen und das anwenden müssen, weiß da denn niemand wie das gemacht werden könnte?

16.11.2006, 16:10

papahuhn

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Zitat:

Original von Gast123
Ja, das wäre echt schön leicht, dass Problem ist, dass wir nach der Definition oben vorgehen müssen und das anwenden müssen, weiß da denn niemand wie das gemacht werden könnte?

Zitat:

Original von Gast123
(P) Es gibt eine Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , zusammen mit einer injektiven Abbildung S: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \Rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ und folgender Eigenschaftne, dem sogenannten Induktionsaxiom:

Ist M c $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und gilt
a) 1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M
b) n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M daraus folgt S(n) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M

so folgt M = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Das geht nicht. Allein aus diesem Axiom folgt nicht, dass 1 keinen Vorgänger hat. Ein Gegenbeispiel habe ich angegeben und Du ja auch (Z/5Z). Wenn noch Zeit ist, würde ich einen Tutor fragen wie das gemeint sein soll und ihm die Gegenbeispiele zeigen.

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