Inf/sup + beweis

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Susi1987 Auf diesen Beitrag antworten »
Inf/sup + beweis
hiho, habe mal wieder einen Denkfehler denke ich - es geht um den Limes superior/inferior von Folgen bzw das Supremum/Infimum von Mengen.

zB die Menge

dann geht für n -> unendlich 1/n gegen 0, somit ist infM = 0
Wenn ich jetzt 1 für n einsetze, da n aus N, kommt 1 raus, was das Maximum der Menge ist und es sollte auch das supremum sein oder?
Aber das supremum ist doch die kleinste obere schranke, ist das 1 nicht ausgeschlossen da das ja element der menge ist?

Ok soweit sogut, wie siehts mit schwereren sachen aus, zB diese 2 sachen
1.
Wie kann ich das inf/sup ermitteln? Ohne Vorkenntnisse von Ableitungen usw.

für x=10 wird die linke Termseite 0
für x=12 wird 24=24, also hat die funktion ein sup bei 12? und wenn jetzt
für x= -2 (da x € R) wird x 24=24, also inf bei -2 ?

Wenn ich nur sup ermitteln soll, muss ich dann trotzdem beweisen das es genau die KLEINSTE oberere schranke ist, wenn ja, dann muss ich doch zeigen, dass es kein x' < x gibt, das eine schranke für M ist? (wie)

2. Nun zu Folgen (an)

damit soll ja der limes inferior/superior ermittelt werden
was nun? auf konvergenz prüfen für lim n -> unendlich und lim n -> - unendlich? es ist nicht angegeben aus welchem Definitionbereich das n ist...(obwohl n eig immer für natürliche Zahlen genommen wird..)


So und zum Abschluss noch eine Konvergenzaufgabe, wo ich gar ned durchblicke..

Für eine reelle Zahl a > 0 sei die Folge (xn) rekursiv definiert durch
(*) beliebig,

Zeigen Sie:
a) Die Folge ist mon fallend und nach unten beschränkt, also konvergent gegen einen Grenzwert x.

b) Es gibt

wäre nett wenn jemand mir n bissi sagen kann was stimmt was nicht nicht und ich ich das 2. am besten beweise, denn oben soll ich ja nur bestimmen..


Danke,
Susi aus Dresden
1.Semester WiMa
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Susi! Deine Überlegungen bei der zweiten Menge sind ok! Nun, wie kannst Du zeigen, dass das das einzige Supremum ist? Nehme an, es gebe ein und führe zu einem Widerspruch.

Bei der ersten Folge: Spalte in zwei konvergente Teilfolgen auf (Stichwort ungerade und gerade Exponenten!).

Bei der zweiten Folge: Zeige, dass sie monoton ist und beschränkt. Dann darfst Du von der Existenz eines Grenzwertes ausgehen und insbesondere gilt dann:

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Susi1987
zB die Menge

dann geht für n -> unendlich 1/n gegen 0, somit ist infM = 0
Wenn ich jetzt 1 für n einsetze, da n aus N, kommt 1 raus, was das Maximum der Menge ist und es sollte auch das supremum sein oder?
Aber das supremum ist doch die kleinste obere schranke, ist das 1 nicht ausgeschlossen da das ja element der menge ist?

Bei der kleinsten oberen Schranke ist nicht gesagt, dass diese nicht in der Menge liegen darf! Guck dir die Definition nochmal an, dort steht kein Wort davon.

Zitat:
Original von Susi1987
Ok soweit sogut, wie siehts mit schwereren sachen aus, zB diese 2 sachen
1.
Wie kann ich das inf/sup ermitteln?

Jedenfalls nicht durch Einsetzen von wenigen Werten. Augenzwinkern
Am besten ist es, wenn du die Ungleichung nach auflöst.

Zitat:
Original von Susi1987
Wenn ich nur sup ermitteln soll, muss ich dann trotzdem beweisen das es genau die KLEINSTE oberere schranke ist, wenn ja, dann muss ich doch zeigen, dass es kein x' < x gibt, das eine schranke für M ist? (wie)

Ja, das musst du noch beweisen und ja, genau das musst du dafür zeigen. Das machst du, indem du zeigst, dass es ein gibt mit . Am einfachsten ist das natürlich immer dann, wenn du solch ein explizit angeben kannst ...

Zitat:
Original von Susi1987
2. Nun zu Folgen (an)

damit soll ja der limes inferior/superior ermittelt werden
was nun? auf konvergenz prüfen für lim n -> unendlich und lim n -> - unendlich? es ist nicht angegeben aus welchem Definitionbereich das n ist...(obwohl n eig immer für natürliche Zahlen genommen wird..)

Folgen sind nach Definition Funktionen aus in . Es ist also tatsächlich . Weißt du denn, wie man und bestimmt?

Zitat:
Original von Susi1987
So und zum Abschluss noch eine Konvergenzaufgabe, wo ich gar ned durchblicke..

Für eine reelle Zahl a > 0 sei die Folge (xn) rekursiv definiert durch
(*) beliebig,

Zeigen Sie:
a) Die Folge ist mon fallend und nach unten beschränkt, also konvergent gegen einen Grenzwert x.

Mache am besten beides durch vollständige Induktion! Nach unten beschränkt ist sie ja trivialerweise (warum?). Zeige durch Induktion, dass für alle gilt:

.

Gruß MSS

edit:
Zitat:
Original von Frooke
Nun, wie kannst Du zeigen, dass das das einzige Supremum ist? Nehme an, es gebe ein und führe zu einem Widerspruch.

Die Frage müsste korrekterweise lauten: "Wie kannst du beweisen, dass das wirklich das Supremum ist?" Oder aber: "Wie kannst du beweisen, dass das wirklich die kleinste obere Schranke ist?". Augenzwinkern
Außerdem ist für nicht möglich ...
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage war falsch, aber beim anderen verstehe ich Dich nicht verwirrt ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

ist doch gerade so definiert, dass für alle gilt: .

Gruß MSS
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eben... Das war ja auch zum Überprüfen eines Resultats gemeint! Vielleicht war das oben unglücklich formuliert. Ich bezog mich auf «beweisen das es genau die KLEINSTE oberere schranke ist...»...
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Vielleicht war das oben unglücklich formuliert.

Jap, das war es. Aber deswegen hab ich dich ja auch korrigiert. Sollte nicht böse gemeint sein. Augenzwinkern

Gruß MSS
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Das fass ich schon jeweils nicht so auf smile Ich hatte es inhaltlich erst nicht verstanden, nicht irgendwie sonst... Bin ja da, um dazuzulernen Augenzwinkern ...

Mfg
Susi1987 Auf diesen Beitrag antworten »

Erm.. Huh?

Also MSS meinte, das ich nicht einfach was einsetzen kann bei der 2. Menge. Frooke meinte die Überlegung von mir sei OK.
Was ist denn nun richtig?

Ich mein ich soll bei den ersten 3 Sachen ja nur Inf und Sup BESTIMMEN, also ist der Beweis doch überflüssig? Oder seh ich das falsch?
Und bei 1. n-> unendlich und n = 1 - das soweit korrekt um es herauszufinden?
Also zu 1.
infM=0 supM=1
2. infM=-2 supM=12
korrent?

und nein lim inf und lim sup kenn ich nicht, hab mir gedacht das es einmal für und einfach
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deine Ergebnisse sind richtig.

Zitat:
Original von Susi1987
Also MSS meinte, das ich nicht einfach was einsetzen kann bei der 2. Menge. Frooke meinte die Überlegung von mir sei OK.
Was ist denn nun richtig?

Ich mein ich soll bei den ersten 3 Sachen ja nur Inf und Sup BESTIMMEN, also ist der Beweis doch überflüssig? Oder seh ich das falsch?

Nun, einfach nur einsetzen und dann sagen, dass das Supremum und Infimum sind, ist etwas dürftig. Es muss ja kein Beweis sein, aber eine Begründung wäre schon nicht schlecht. Wie bist du denn auf diese Zahlen gekommen? Hast du wirklich einfach nur stupide irgendwelche Zahlen durchprobiert?
Zum Limes superior und inferior: Wenn ihr eine Aufgabe dazu bekommt, müsst ihr die Begriffe ja auch irgendwie definiert haben?! Deine Vermutung ist jedenfalls falsch.

Gruß MSS
Susi1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich hab die ungleichung betrachtet für den fall das es = 24 ist

x²-10x = 24, dann hab ich gesehen das bei x=10 auf der linken seite 0 rauskommt und damit sollte es ein negatives und ein positives X geben, wobei das negative dann natürlich infimum ist und das positive ist das supremum, da es eben genau 24 ist und alle x für die es kleiner wird sind keine schranke und alle die größer sind sind zwar schranken, aber eben nicht die kleinste..

-2 sieht man schon die gleichheit und 12 bin ich von der x=10 (linke seite = 0) auch nach oben gegangen -> gefunden

beim 1. hab ich einfach 1 eingesetzt, weils die erste zahl in N ist und somit kann es nur das sup sein - trivial
da ich weiß, das 1/n gegen 0 geht, ist für große N 0 der Grenzwert und somit auch das infimum.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du kannst ja den Weg über die Gleichung gehen, aber dann wäre es evtl. doch besser, diese Gleichung zu lösen und nicht ihre Lösungen zu raten.

Gruß MSS
Susi1987 Auf diesen Beitrag antworten »

und das geht? ich meine.. Uni 1. Semester - glaube nicht das man da ungleichungen lösen kann mit dem was man in der vorlesung hatte :X zumindest nicht quadratische mit mehreren lösungen..

aber hat sich erledigt, hab aufgaben abgegeben - danke für die tips.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Susi1987
und das geht? ich meine.. Uni 1. Semester - glaube nicht das man da ungleichungen lösen kann mit dem was man in der vorlesung hatte :X zumindest nicht quadratische mit mehreren lösungen..


Warum denn nicht? Die Mitternachtsformel ergibt sich ganz einfach aus den elementaren Rechenregeln (wenn das Wurzelziehen schon definiert wurde...)
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