Folgen und Flächenberechnung

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nompy Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen und Flächenberechnung
Hallo zusammen,
ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.

Auf dem Bild seht ihr meinen Ansatz, mehr habe ich noch nicht...

Grüße und danke schon mal ;-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Führe die symmetrische Bezeichnungsweise ein:






_____________________

q ist der Quotient der geometrischen Reihe. Mittels der Reihensumme ist q berechenbar und damit alle Winkel.

________________________
EDIT: Zu schön um wahr zu sein, sorry dieser Ansatz stimmt nicht, denn 90 ist nicht der mittlere, sondern der größte Winkel. Berichtigung siehe weiter unten!
________________________


Übrigens, richtig heisst es ... beta (und NICHT betta!)

Apropos betta - das Bett ruft, gute Nacht.

mY+
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo danke für die schnelle Hilfe, aber was ist die Reihensumme?

Das Bildungsgesetz der geometrischen Funktion ist ja

(a) = an * q^n

wie bringe ich das jetzt in verbindung?

Grüße
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Na, bei drei Gliedern kannst doch die drei einfach addieren. Da ein Winkel 90 ist, wird's sogar noch einfacher. Wie wäre es mit

(?)

----------------------------------
EDIT: Diesen Ansatz bitte vergessen! Sh. nächste Posts.
----------------------------------

Nicht vergessen, durch 90 kann man da dividieren!

mY+
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das habe ich mir schon gedacht und natürlich weitergerechnet...
Ich hab aber so die Vermutung, dass ich komplett auf dem Schlauch stehe unglücklich

90 = 90q + 90/q | :90

1 = q + 1/q | -1/q

- 1/q = q


und dann bin ich immer noch nicht weiter...

Viell kannst du mir ja mal den kompletten Rechenweg aufzeigen, bis ich einen Winkel oder eine zusätzliche Strecke habe.

Danke ;-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mein Ansatz war falsch, so kann es nicht gehen, denn NICHT der mittlere Winkel, sondern der größte Winkel ist 90°, somit setzen wir die geometrische Reihe - diesmal richtig - nochmals an, beginnend mit dem größten Winkel, q > 1:







Multipliziere jetzt mit dem gemeinsamen Nenner und löse die entstehende quadratische Gleichung mittels der Formel.

mY+
 
 
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt dann:

1 = 1/q + 1/q^2 |*q

q = 1 + 1/q

Wie mache ich dann weiter?
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

so hab den Gedanken gerade nochmal weiter verfolgt...

hätte ich dann also:

q = 1 + 1/q | *q

q^2 = 1 + 1

q^2 = 2 | wurzel

q = wurzel aus 2


oder liege ich hier falsch?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich mit multiplizieren, du willst doch die Brüche weghaben!
Und dann bitte, mache dich gleich mit der Lösung einer quadratischen Gleichung vertraut!

mY+
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt, mit q^2 sieht das ganze schon viel besser aus smile

ich hätte dann

0 = q^2 -q -1

Dann einfach PQ-Formel dann bekomme ich für q:

X1 = 1,618
X2 = 0,618

Nur wie komme ich nun mit q auf die Fläche des Dreiecks? Bzw. welches q muss ich nehmen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Stand schon da:

Zitat:
Original von mYthos
... beginnend mit dem größten Winkel, q > 1:


...

Und warum? Denke daran, dass im Ansatz die Voraussetzung war, dass 90° der größte Winkel sein soll.

Jetzt musst du die Hypotenuse c = 8 ins Spiel bringen. Mit sin/cos und den entsprechenden Winkeln erhält man nun leicht die Katheten. Damit kann zum Schluss auch noch die Fläche berechnet werden.

mY+
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ein Winken 90° sein muss, ist mir bewusst...

welnn also q > 1 ist, dann habe ich für q=1,618

wie bringe ich denn die Hypotenouse ins spiel?
Ich kenne den Satz dem Pythagoras und auch die Winkelfunktionen ...

aber wie bringe ich jetzt mein q damit in den Zusammenhang? Mein q kann ich doch nur für das Bildungsgesetz der geom. Folge gebrauchen, oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden spitzen Winkel sind also und . Die kannst du doch ausrechnen, mit dem jetzt bekannten q, ja?
So, dann sind die Winkel alle bekannt.

Und dann gilt z.B.
c und der Winkel sind bekannt, da kann man nun a ausrechnen ...

mY+
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut das war wohl zu einfach und das zu erkennen^^

Jetzt stellt sich mir die Frage, wieso q>1 sein muss?

Ist das, weil sonst der Winkel größer als 90° wäre?

Und stimmt mein q= 1,618 ?

Grüße und vielen dank!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt so weit.
Nur ein kleiner Fehler war bei dir: Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung ist negativ und wäre daher ohnehin nicht in Frage gekommen.
____________

Man kann natürlich die Reihe auch so ansetzen:

.. mit q < 1

Das kommt auf dasselbe hinaus, die Gleichung in q lautet dann:







Es gilt nur die positive Lösung 0,618 und die ist - wie zu erwarten - kleiner als 1.
Vielleicht ist dir das so lieber.

mY+
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

ok das ist soweit alles super, vielen dank!

Du hattest nun geschrieben:


---> weiß nicht ob das kopierte funktioniert hier steht:

q1/2 = 1/2 (-1 +- wurzel 5 )



ist das dann egal ob ich das so löse oder mit der PQ-Formel?



Und kann ich dann sagen, dass die Reihe wie folgt lautet:

<an> = < 90, 90q, 90q^2> ?

das wäre dann für

alpha = 90q = 90 * 0,618 = 55,62 °
beta = 90°
delta = 90 * q^2 = 90 * (0,618^2) = 34,38 °

dann wüprde daraus die logische Reihe so aussehen:

<an> = < 34,38, 55,62, 90>


und dann würde für die seiten zählen:

für a gilt:
sin alpha = a/c
sin 34,38 a/ 8cm

a= 4,52 cm


für b gilt:
sin delta = b/c
sin 55,62 = b/8cm

b= 6.6 cm


und um die Fläche auszurechnen werde ich einfach einen Höhe ziehen, diese berechnen und mit der Hypotenouse multiplizieren...

Grüße und danke im vorraus
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

also als höhe habe ich dann
sin 34,62 = h/6,6
h = 3,73

A = c * h
= 8cm * 3,73 cm
= 29,84 cm^2


Oder irre ich mich da ..

Grüße
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

Als für A habe ich letzenendes:

A= 14,85 cm^2
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die gerundeten Werte für die Seiten a und b kann ich bestätigen.

Für die Berechnung der Fläche kannst Du eine einfache Überlegung umsetzen:
Ein rechtwinkliges Dreieck ist immer ein halbes Rechteck (oder Quadrat, ist hier aber unwichtig). Berechne das Rechteck und halbiere das Ergebnis.

So komme ich auf eine Fläche, die sich nur durch einen kleinen Rundungsfehler von Deinem Ergebnis unterscheidet; also hast Du richtig gerechnet.
nompy Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen Dank für das Korrekturrechenen :-)

Damit ist das Ding nun endlich abgeschlossen!
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