Symmetrie und Matrixnormen

18.11.2010, 20:59	inneed4help	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie und Matrixnormen Hi Leute, ich soll Matrixnormen umformen und habe eine Frage: Sei M eine neg. definite symmetrische Matrix, I die Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray} \\|\cdot\\| \end{eqnarray}$ die Spektralnorm. Dann ist ja I-M auch symmetrisch und pos. def.. Ist es richtig, dass man dann trotzdem nicht $\begin{eqnarray} \\|I-M\\|^{-1}=\\|(I-M)^{-1}\\| \end{eqnarray}$ schließen kann? Habe die Definitionen angewendet, aber ich hätt gern jemandes Meinung dazu, LG
18.11.2010, 23:26	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt in der Tat nicht. Wenn eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die beiden Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1 > \lambda_2 > 0 \end{eqnarray}$ besitzt, dann ist der Spektralradius $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ . Hingegen ist der $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda_2} \end{eqnarray}$ der Spektralradius von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ . Sei also z.B. $\begin{eqnarray} M=\operatorname{diag}([-1,-4]) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} I-M=\operatorname{diag}([2,5]) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (I-M)^{-1}=\operatorname{diag}([0.5,0.2]) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \\|I-M\\|^{-1}=5^{-1}=0.2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \\|(I-M)^{-1}\\|=0.5 \end{eqnarray}$ .
19.11.2010, 00:13	inneed4help	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das Beispiel, das macht es gleich viel einleuchtender als jede theoretische Überlegung :-), LG

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