Vollständige Induktion

19.11.2010, 04:14

Malik88

Vollständige Induktion

Hallo,

ich studiere seit diesem Wintersemester Sonderpädagogik auf Lehramt und habe mich für Mathe entschieden. Die wöchentlichen Übungsaufgaben haben es aber in sich & so sitze ich schon bei der 1. von 4 Aufgaben länger ohne irgendwelche Ansätze oder Ideen.

Wir definieren für jedes n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N das Symbol n! wie folgt:

0! = 1 und für alle n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N: Ã [Sigma] (n)! = Ã (n) * n!.

Beweisen Sie, dass für alle n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N mit n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4 gilt: n! $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$

Also am Ende soll dort doch dann stehen:

n! $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie komme ich hier überhaupt nicht zurecht bzw. finde keine Induktionsverankerung.. unglücklich

Bin um Hilfe sehr, sehr dankbar!

19.11.2010, 08:10

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Hilfe
hast du denn den induktionsanfang?

die aussage, die zu beweisen ist ist folgende:

$\begin{eqnarray*} n! \geq 2^n \end{eqnarray*}$ für n>3, beginnen wir einmal mit dem induktionsnanfang:

stimmt deine aussage für n=4 ?

19.11.2010, 10:11

Goaly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Hilfe

Zitat:

Original von lgrizu
hast du denn den induktionsanfang?

die aussage, die zu beweisen ist ist folgende:

$\begin{eqnarray*} n! \geq 2^n \end{eqnarray*}$ für n>3, beginnen wir einmal mit dem induktionsnanfang:

stimmt deine aussage für n=4 ?

Ja, so habe ich mir das auch überlegt, da ja nur nur alle n größer als 3 gelten und n=4 genommen.

4! > 2^4 [n=4]
24 > 16
Stimmt also.

Und nun kommen wir zu dem Punkt, wo ich immer bei der vollständigen Induktion hänge, weil ich keinerlei Plan habe, wie ich jetzt hier am besten vorgehen sollte.

19.11.2010, 10:18

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Hilfe
okay, anfang haben wir, nun zum schluss:

n-->n+1

$\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1) \cdot n! \geq_{nach vorraussetzung}(n+1) \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

soweit klar?

...jetzt versuch mal selbst zu argumentieren...

19.11.2010, 10:40

Goaly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Hilfe

Zitat:

Original von lgrizu
okay, anfang haben wir, nun zum schluss:

n-->n+1

$\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1) \cdot n! \geq_{nach vorraussetzung}(n+1) \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

soweit klar?

...jetzt versuch mal selbst zu argumentieren...

Genau das ist es, was mir nicht klar ist.

Wir haben einen Anfang.

Muss am Ende nicht stehen, dass n! $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2 hoch n ist, oder nicht?

Mir ist auch klar, dass man für n "n+1" einsetzt, da wir ja davon ausgehen, dass die Behauptung für n stimmt und somit auch für (n+1) stimmen muss, oder nicht? Das ist doch die Kernaussage der vollständigen Induktion. Aber wie komme ich auf den richtigen Schluss bzw. wie kamst du darauf?

19.11.2010, 10:46

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Hilfe
du betrachtest deine aussage für n+1, denn wenn sie für ein n gilt und für n+1, dann gilt sie für alle n....

die aussage ist:

$\begin{eqnarray*} A(n): ~n! \geq 2^n ~ fuer~ n>3 \end{eqnarray*}$

nun zeigen wir das in dem induktionsanfang für n=4, also für ein n.

dann betrachten wir n-->n+1, setzen in diesem fall also n+1 für n in die linke seite der gleichung ein und zeigen, dass wenn
$\begin{eqnarray*} n! \geq 2^n \end{eqnarray*}$ gilt auch gilt $\begin{eqnarray*} (n+1)! \geq 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ , dazu müssen wir kommen....

22.11.2010, 14:25

Goaly88

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Hilfe
Erstmal danke für deine Hilfe. Habe jetzt IA, IV und IB (n+1)! >= 2^(n+1)

Nun komme ich aber einfach nicht weiter. Ich soll für diese Behauptung beweisen, dass sie wahr ist, aber wie?

22.11.2010, 15:38

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Hilfe
das haben wir bisher:

Zitat:

Original von lgrizu
n-->n+1

$\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1) \cdot n! \geq_{nach vorraussetzung}(n+1) \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

nun ist n>3, also ist mit sicherheit auch n+1>2, was kann man dann daraus folgern?

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen