Basis des Annulatorraumes

19.11.2010, 08:04

dupla

Basis des Annulatorraumes

hallo,

ich habe probleme mit dieser aufgabe:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb F_2^6 \end{eqnarray*}$ und U der von $\begin{eqnarray*} (1,1,1,0,1,1)^t,(1,1,0,1,1,0)^t,(0,0,1,1,0,1)^t \end{eqnarray*}$ erzeugte unterraum. Gib eine Basis des Annulators $\begin{eqnarray*} U^0 \end{eqnarray*}$ an.

nun weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen muss.

Der annulator(raum) ist definiert als $\begin{eqnarray*} U^0:=\{\phi \in V^*|\phi(u)=0 \forall u \in U\} \end{eqnarray*}$ .

doch wie kann ich eine basis hiervon bestimmen, wenn ich bloß eine basis von U gegeben habe?

kann mir jemand einen tipp geben, wie ich hier vorgehen muss?

danke schonmal im voraus.

19.11.2010, 14:45

Reksilat

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RE: Basis des Annulatorraumes
Hi dupla,

Suche Dir zuerst eine Basis $\begin{eqnarray*} \{\alpha_1,...,\alpha_6\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ (zum Beispiel die zur Standardbasis von V duale Basis). Dann versuche aus Linearkombinationen der $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ Abbildungen zu basteln, die alle drei Vektoren auf Null abbilden.

Gruß,
Reksilat.

20.11.2010, 14:58

dupla

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hi reksilat,

danke für die antwort.

dann versuche ich das mal.

ich nehme mir also die standardbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^6 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} B=(e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6) \end{eqnarray*}$ .

dann gehe ich nach der von dir in einem anderen thread beschriebenen allgemeinen vorgehensweise vor:

ich bastel mir aus den standardbasisvektoren meine $\begin{eqnarray*} E_6 \end{eqnarray*}$ einheitsmatrix.
dann invertiere ich sie und habe die zur basis B duale basis B* in den zeilen stehen.
da $\begin{eqnarray*} (E_6)^{-1}=E_6 \end{eqnarray*}$ , ist meine zur basis B duale Basis $\begin{eqnarray*} B^*=(e_1^*,e_2^*,e_3^*,e_4^*,e_5^*,e_6^*) \end{eqnarray*}$

habe ich das soweit richtig verstanden?

20.11.2010, 16:22

Reksilat

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Meinst Du diesen Thread?
Dort geht es doch darum, zu einer beliebigen Basis eine duale Basis bezüglich. der Standardbasis des Dualraums anzugeben. Für irgendeine Darstellung in Vektorschreibweise benötigst Du sowieso immer eine abstrakte Basis des Dualraums - irgendein Zeilenvektor ist erstmal nicht unbedingt aussagekräftig.
Die zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ duale Basis $\begin{eqnarray*} B* \end{eqnarray*}$ existiert hier übrigens nicht wegen irgendeines Verfahrens mit Matrixinvertierung und so weiter, sondern einfach weil es zu jeder Basis eine duale Basis gibt.

Richtig verstanden hast Du das ganze nur, wenn Du es auch anwenden kannst, was hier eben bedeutet, dass Du zum Beispiel ausrechnen kannst, worauf die Elemente Deiner Dualraumbasis die erzeugenden Vektoren von U abbilden.

Gruß,
Reksilat.

20.11.2010, 17:29

dupla

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ja, das ist genau der thread den ich gemeint habe.

ich denke, dass ich das ganze noch nicht richtig verstanden habe.

die elemente meiner dualen basis sind doch abbildungen, für die gilt: $\begin{eqnarray*} e_i^*: V^*->K, e_j->e_i^*(e_j)=\delta_{i,j} \end{eqnarray*}$ .

worauf jetzt allerdings die basisvektoren von U abgebildet werden, kann ich nicht sagen.

20.11.2010, 17:31

Reksilat

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Diese Vektoren kannst Du als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ ausdrücken und dann die Linearität der $\begin{eqnarray*} e_i^* \end{eqnarray*}$ ausnutzen.

20.11.2010, 17:51

dupla

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oh, danke für den hinweis.

es ist $\begin{eqnarray*} u_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1*e_1+1*e_2+1*e_3+0*e_4+1*e_5+1*e_6 \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} e_i^*(u_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1*e_i^*(e_1)+1*e_i^*(e_2)+1*e_i^*(e_3)+0*e_i^*(e_4)+1*e_i^*(e_5)+<br /> 1*e_i^*(e_6) \end{eqnarray*}$

meine Basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ war ja $\begin{eqnarray*} B^*=(e_1^*,e_2^*,e_3^*,e_4^*,e_5^*,e_6^*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_1^* \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ somit ab auf 1.
$\begin{eqnarray*} e_2^* \end{eqnarray*}$ auf 1.
$\begin{eqnarray*} e_3^* \end{eqnarray*}$ auf 1.
$\begin{eqnarray*} e_4^* \end{eqnarray*}$ auf 0.
$\begin{eqnarray*} e_5^* \end{eqnarray*}$ auf 1.
$\begin{eqnarray*} e_6^* \end{eqnarray*}$ auf 1.

das ganze kann ich dann auch für $\begin{eqnarray*} u_2, u_3 \end{eqnarray*}$ machen, doch momentan sehe ich den zusammenhang dazu noch nicht. könntest du mir noch einmal weiterhelfen?

20.11.2010, 20:44

Reksilat

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Na klar.
Jedes Element des Dualraums lässt sich darstellen als $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^6\lambda_ie_i^* \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in\mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ .

Nun wirst Du zum Beispiel sehen, dass ja $\begin{eqnarray*} (e_1^*+e_2^*)(u_1)=e_1^*(u_1)+e_2^*(u_1)=1+1=0 \end{eqnarray*}$ ist. Ähnlich sieht man das auch für $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_3 \end{eqnarray*}$ . Damit liegt $\begin{eqnarray*} e_1^*+e_2^* \end{eqnarray*}$ im Annulatorraum von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Wenn Du das allgemein lösen willst, wirst Du ein 3x6-LGS erhalten, dass Dir dann zeigt, wie die Elemente des Annulatorraums ausehen.

Gruß,
Reksilat.

21.11.2010, 00:00

dupla

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$\begin{eqnarray*} e_1^*+e_2^* \end{eqnarray*}$ sind also im annulatorraum von U. dann kann ich diese ja als meinen ersten basisvektor nehmen, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

jetzt betrachte ich $\begin{eqnarray*} (e_1^*+e_2^*)(u_2)=e_1^*(u_2)+e_2^*(u_2)=1+1=0 \end{eqnarray*}$

damit hätte ich dann aber eine lineare abhängigkeit. also kann ich doch stattdessen auch $\begin{eqnarray*} (e_4^*+e_5^*)(u_2)=e_4^*(u_2)+e_5^*(u_2)=1+1=0 \end{eqnarray*}$ betrachten.

das wäre wieder im annulatorraum, also kann ich als zweiten basisvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

zuletzt das ganze noch für $\begin{eqnarray*} u_3 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (e_3^*+e_6^*)(u_3)=1+1=0 \end{eqnarray*}$

somit wär der 3. basisvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich bin mir nicht sicher, ob das ganze so richtig ist.

22.11.2010, 15:11

Reksilat

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Die Elemente des Annulatorraums müssen alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auf Null abbilden. Also musst Du auch immer alle drei Basisvektoren $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ untersuchen.

Du wirst sehen, dass $\begin{eqnarray*} (e_4^*+e_5^*)(u_1)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das kann also unmöglich in Deinem Annulatorraum liegen.

23.11.2010, 11:29

dupla

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oh, danke.

jetzt wird das ganze schon etwas klarer.

neuer versuch:

$\begin{eqnarray*} e_1^*+e_2^* \in U^0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt im annulatorraum.

$\begin{eqnarray*} (e_3^*+e_6^*)(u_i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e_3^*(u_i)+e_6^*(u_i) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$

in allen 3 fällen ergibt das ganze 0, d.h. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt im annulatorraum.

nun zum letzten:
$\begin{eqnarray*} (e_2^*+e_5^*)(u_i) = e_2^*(u_i)+e_5^*(u_i) \end{eqnarray*}$

in allen 3 fällen ergibt das hier wieder 0, also liegt auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also liegt auch dieser vektor im annulatorraum.

nun muss ich ja noch überprüfen, dass diese 3 vektoren eine basis von $\begin{eqnarray*} U^0 \end{eqnarray*}$ bilden.

die lineare unabhängigkeit ist direkt schon offensichtlich und da gilt:
$\begin{eqnarray*} dim V - dim U = dim U^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => 6-3=3 \end{eqnarray*}$
brauche ich nur $\begin{eqnarray*} dim U^0=3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängige vektoren, um meine basis zu bilden.

wäre das so in ordnung?

danke nochmals für deine tolle hilfe smile

23.11.2010, 18:05

Reksilat

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Jep, das stimmt so.
Ob Du die Elemente des Dualraums dann wieder als Spaltenvektor schreibst, ist Deine Sache. Letztlich kann man dann durcheinanderkommen, da ja auch die Elemente des ursprünglichen Raums als Spaltenvektoren geschrieben werden.
Bisweilen werden die Vektoren des Dualraums bezüglich der dualen Basis auch als Zeilenvektoren geschrieben. Dann kann man die Berechnung von $\begin{eqnarray*} v^*(w) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v^*\in V^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in V \end{eqnarray*}$ nämlich direkt als Matrixmultiplikation verstehen. (Zeilenvektor $\begin{eqnarray*} v^* \end{eqnarray*}$ multipliziert mit Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ergibt ein Körperelement und zwar genau $\begin{eqnarray*} v^*(w) \end{eqnarray*}$ )

Gruß,
Reksilat.

23.11.2010, 18:22

dupla

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lange hats gedauert, aber jetzt habe ich das thema verstanden smile

ich möchte dir noch einmal herzlichst für deine hilfe danken, und ich hoffe, ich bin dir nicht zu sehr auf die nerven gegangen smile

23.11.2010, 18:25

Reksilat

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Nö, hat Spaß gemacht Dir zu helfen. Gerade solche Threads, in denen man mit wenigen Worten viel erreicht, sind das schönste an dem "Job" hier.

Wink

23.11.2010, 18:43

dupla

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das ganze ließe sich doch aber alternativ auch durch das oben von dir angesprochene 3x6 LGS lösen, oder?

das müsste doch dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich davon den kern bestimme, erhalte ich genau die obige lösung.

da hätte ich ja echt auch mal früher drauf kommen können Hammer

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