Wert einer Variante der geometrischen Reihe

19.11.2010, 10:34

Knofla

Wert einer Variante der geometrischen Reihe

Meine Frage:
Ich möchte den Wert der folgenden Reihe berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty n^{k}*q^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ , k natürliche Zahl

Meine Ideen:
Ich habe versucht, die absolute Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums und der Regel von de l`Hospital zu beweisen was mir vielleicht sogar gelungen ist.

Bei Wikipedia habe ich aber eine kurze, interessante "Lösung" gefunden: http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe (ganz unten bei Herleitung der Varianten), sowie auch auf folgender Seite: http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsamml...etrische_Reihe.

Ich verstehe aber leider den 1. Schritt in der "Lösung" von Wikipedia einfach nicht. Und zwar, woher die Ableitung kommt und wohin das "k" verschwindet. Welche Regel/Satz/Technik wurde hier angewandt? Kann mir jemand von euch bitte weiterhelfen und einen Tipp geben?

Vielen, vielen Dank!

Edit (Mazze) : Die Formel aus dem Formeleditor müssen noch in latextags eingebunden werden (HTML Tag : latex /latex)

19.11.2010, 10:57

corvus

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RE: Wert einer Variante der geometrischen Reihe

Zitat:

Original von Knofla

Ich möchte den Wert der folgenden Reihe berechnen:

\sum\limits_{k=0}^\infty n^{k}*q^{n}

|q| < 1, k natürliche Zahl

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty n^{k}*q^{n} \end{eqnarray*}$

1)
|q| < 1, k natürliche Zahl ...und über n wird nichts gesagt? verwirrt

2)
q^n hängt nicht vom Laufindex k ab, kann also als konstanter Faktor
vor die Summe genommen werden ..
$\begin{eqnarray*} q^{n} * \sum\limits_{k=0}^\infty n^{k} \end{eqnarray*}$ smile

3) wenn du willst, kannst du dir jetzt noch überlegen, wann das
keine geometrische Reihe abgibt.. Wink

19.11.2010, 11:02

Mazze

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editiert !

19.11.2010, 11:12

corvus

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Zitat:

Original von Mazze
Traue nicht dem Schädel! :
Irgendwie vermute ich ja, dass der Laufindex der Reihe n sein sollte und nicht k.

@Mazze:
..warum lässt du das den Fragesteller nicht selbst herausfinden? smile

19.11.2010, 11:16

Mazze

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Da hast Du eigentlich recht.

19.11.2010, 13:14

Manni Feinbein

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RE: Wert einer Variante der geometrischen Reihe
Sukzessive Anwendung der Cauchyschen Produktformel oder gliedweises Differenzieren bringen dich hier weiter.

Gliedweises Differenzieren liefert folgende Rekurion:

Sei: $\begin{eqnarray*} S_k(x):=\sum_{n=0}^\infty n^kx^n,~|x|<1. \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} S_0(x)=\frac 1{1-x} \text{ und }S_{k+1}=xS_k'(x). \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 19:51

Knofla

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RE: Wert einer Variante der geometrischen Reihe
Ich habs jetzt mit gliedweisem differenzieren versucht, das funktioniert Freude

! Danke! Und der Laufindex war n, hab mich blöderweise vertippt Hammer

.

Die absolute Konvergenz konnte ich mit dem Quotientenkriterium zeigen (mit dem Wurzelkriterium wars ein bisschen ein "Gewurschtel")

Vielen Dank für eure Hilfe!

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