Mengengleichheit Gegenbeispiel

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19.11.2010, 15:27	xyzabc	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengengleichheit Gegenbeispiel Meine Frage: Hallo! Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe: V1 und V2 sind Untervektorräume $\begin{eqnarray} V_{1}=(U_{1}+U_{2})\cap U_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{2}= (U_{1}\cap U_{3})+(U_{2}\cap U_{3}) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray} V_{1}\subseteq V_{2} \end{eqnarray}$ gilt. Nun soll ich ein Beispiel finden, sodass $\begin{eqnarray} V_{1}\neq V_{2} \end{eqnarray}$ Ich weiß aber nicht, wie ich das angehen kann! Meine Ideen: Ich habe mir das ganze mal aufgemalt... dabei sind die Mengen aber in allen Fällen, die ich aufgemalt habe, gleich gewesen. Dann hab ich das ganze Mal mit Zahlen ausprobiert. Und auch mit leerer Menge- das ganze führte aber auch nicht zum Ziel... Also hab ich mal ein paar grundsätzliche Feststellung, von denen ich erstmal wissen müsste, ob sie stimmen... -Also eine Menge geschnitten mit einer leeren Menge ergibt doch eine leere Menge. -Eine Menge plus eine andere Menge, würde doch so aussehen: z.B. M1={1} M2={2} => M1 + M2 = {1,2} kann man also sagen, dass "+" = "vereinigt" ist? Es wäre toll, wenn mir jemand einen Tipp geben kann, wie ich da vorgehen kann, um ein Gegenbeispiel zu finden! Vielen Dank im Voraus!
19.11.2010, 15:32	xyzabc	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel sorry, ein Fehler ist mir unterlaufen! Ich habe gezeigt, dass $\begin{eqnarray} V_{2} \subseteq V_{1} ist!!! \end{eqnarray}$ nicht andersrum Ja, da schließt sich noch ein kleiner Ansatz von mir dran an: Dann müsste ich ja jetzt eigentlich vermuten, dass $\begin{eqnarray} V1 \subseteq V2 \end{eqnarray}$ nicht gilt! Ich weiß aber nicht, ob mich das weiterbringen könnte...
19.11.2010, 15:37	xyzabc	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel Entschuldigung, dass ich hier direkt einen Dreifachpost mache... aber ich bin gerade am überlegen, ob ich die komplette Aufgabe falsch verstanden hab... eventuell könnte es sein, dass ich mir selbst ein ganz neues Beispiel ausdenken soll, in dem V1 ungleich V2 gilt usw. (zu der Aufgabe gehört noch ein bisschen mehr...). Das würde bedeuten, dass im gegebenen Beispiel vielleicht Gleichheit herrscht?! Kann mir das vielleicht jemand beantworten, ob V1 = V2 gilt? Das wäre gut, damit ich erstmal verstehe, was ich machen soll!
19.11.2010, 15:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel Also die Ideen aus Deinem ersten Post sind falsch. Die mengenmäßige Vereinigung und die Summe von Unterräumen sind etwas völlig anderes. (Wenn Du allerdings in der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ersetzt, ist $\begin{eqnarray} V_1=V_2 \end{eqnarray}$ - das ist dann aber etwas völlig anderes.) Die Teilmengeninklusion $\begin{eqnarray} V_2\subseteq V_1 \end{eqnarray}$ stimmt schon mal. Für die Frage zur anderen Inklusion schau Dir doch mal den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ mit drei verschiedenen eindimensionalen Unterräumen an. Gruß, Reksilat.
19.11.2010, 16:04	xyzabc	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel Hey, danke für die schnelle Antwort! (Okay, mein 3. Post war dann wohl überflüssig! ) (Zu meinem ersten Post: + = Vereinigung --> würde das denn gelten, wenn es nicht um Vektoren ginge?!) So: Ich habe mir jetzt als eindimensionale Unterräume $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ überlegt. Dann wäre $\begin{eqnarray} V_{1} = ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \cap \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_{2} = ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cap \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) + ( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cap \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Somit wäre V1= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und V2 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also V1 ungleich V2 Klingt für mich jetzt logisch! Stimmts auch?!
19.11.2010, 16:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel Wenn es nicht um Unterräume ginge, dann wäre überhaupt nicht klar, was das + sein soll. Die Summe zweier Mengen ist nicht definiert. Zu Deinem Beispiel: Da stehen leider keine Unterräume, sondern nur Vektoren. Wenn Du aber überall $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \langle\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray}$ ersetzt (also den Spann der Vektoren), dann passt das so.
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19.11.2010, 16:22	xyzabc	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel Super, vielen, vielen Dank, das hat mir schonmal sehr geholfen. Was kann ich mir denn jetzt unter einem Spann vorstellen? Ich habe gelesen, es ist die Menge aller Linearkombinationen, die man aus dem Vektorn bilden kann, ist der Aufspann. Heißt das jetzt, dass der Spann vom Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Gerade ist, die der y-Achse "entspricht" bzw. auf der y-Achse liegt?
19.11.2010, 16:26	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel Ja, genau. Im Falle nur eines Vektors ist der Spann gerade die Menge aller Vielfachen dieses Vektors.
19.11.2010, 16:28	xyzabc	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gegenbeispiel Okay, super, sehr schön! Vielen Dank! Das ging ja mal ganz fix!

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