Messbare Funktionen

19.11.2010, 16:28

Schenniche1986

Messbare Funktionen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen:

Seien A und B zwei sigma-Algebren in Omega mit A $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ B
Zeigen Sie, dass aus der A-Messbarkeit einer Funktion: f:Omega --> R die B-Messbarkeit von f folgt.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:
Sei A={leere Menge, Omega}und B=Potenzmenge von Omega

Da die Sigma-Algebra A messbar, ist B messbar.

Die leere Menga und Omega sind Element vom Urbild von B und auch Element von A und B. Und das Komplement von A ist Element vom Urlild B sowie von B.
Also ist das Komplement vom Urbild B ebenfalls Element von A und B.

Das Urbild jeder messbaren Teilmenge von B ist eine messbare Teilmenge von A.

Stimmt das so? Ist das mathematisch korrekt?

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe.
LG Jenni

19.11.2010, 17:00

René Gruber

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RE: Messbare Funktionen

Zitat:

Original von Schenniche1986
Das Urbild jeder messbaren Teilmenge von B ist eine messbare Teilmenge von A.

Wenn mit A und B die in der Aufgabenstellung genannten Sigma-Algebren gemeint sind, dann ist dieser Satz völliger Unsinn, und zwar von vorn bis hinten:

Es geht nicht um Teilmengen von A bzw.B., sondern Mengen aus A bzw. B, welche als Urbilder in Frage kommen. Und die Mengen, von denen die Urbilder betrachtet werden, sind schlicht und einfach die Borelmengen des Wertebereichs der messbaren Funktion, also der reellen Zahlen.

Es sind noch einige weitere solche Unsauberkeiten in deinen Erläuterungen.

19.11.2010, 17:04

Schenniche1986

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Ok, dann lasse ich diesen Satz weg.

Du hast gesagt, dass es sonst noch Unsauberkeiten gibt.
Aber wie ist es denn richtig bzw. bin ich auf dem richtigen Weg?

Vielleicht hast du ja Tipps wie ich den Beweis richtig führe.

19.11.2010, 19:01

René Gruber

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Genau genommen ist es ganz kurz:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass die Urbilder sämtlicher Borelmengen in der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ liegen. Nun ist aber laut Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \subset \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , also liegen diese Urbilder aufgrund dieser Teilmengenbeziehung auch in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ . Und genau das wird für die $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit gefordert - das war schon der ganze Beweis.

In deinen Ausführungen verzettelst du dich nur auf irgendwelchen Nebenkriegsschauplätzen, vom eigentlichen Kern des Beweises konnte ich leider nichts erkennen, weswegen ich auch nicht drauf eingegangen bin - das mal als Entschuldigung.

22.11.2010, 09:04

Schenniche1986

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Ich hatte ja so geschrieben: "Die leere Menga und Omega sind Element vom Urbild von B und auch Element von A und B. Und das Komplement von A ist Element vom Urlild B sowie von B.
Also ist das Komplement vom Urbild B ebenfalls Element von A und B. "

Das wäre mein Beweis gewesen oder zumindest ein Ansatz.

Danke für deine Hilfe!
LG

22.11.2010, 09:48

René Gruber

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Wenn du auf deiner Beweisskizze so beharrst: Was verstehst du unter "Urbild B" ?

22.11.2010, 14:10

Schenniche1986

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z.B. Sei die Sigma-Algebra A bestehend aus der leeren Menge, X und Omega.

Dann ist das Urbild, also die Umkehrfunktion von A, also A^-1 bestehend aus Omega, dem Komplement von X , X und der leeren Menge.

Da A eine echte Teilmenge von B ist, liegt das Urbild von A auch in B. Also ist auch B messbar.

22.11.2010, 14:35

René Gruber

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Ich weiß überhaupt nicht, wo ich anfangen soll, diesen Unsinn zu analysieren, da ist ja eigentlich nichts zu gebrauchen.

Beginnen wir mal damit zu analysieren, was die Voraussetzungen eigentlich heißen:

Zitat:

Original von Schenniche1986
Seien $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ zwei Sigma-Algebren in Omega mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \subset \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass aus der $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit einer Funktion: $\begin{eqnarray*} f:\;\Omega \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt.

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt:

Für sämtlicher Borelmengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ liegen die Urbilder $\begin{eqnarray*} f^{-1}(M) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt redest du von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}^{-1} \end{eqnarray*}$ , was soll den das jetzt sein??? $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ist doch keine Abbildung, von der eine Urbildabbildung existiert, sondern eine spezielle Menge von Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ !!! Und wie kann $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ messbar sein? Messbarkeit bezieht sich auf Abbildungen, nicht auf Mengensysteme - letztere werden natürlich dazu gebraucht.

Hast du dir überhaupt meinen Beweis oben durchgelesen? Verstehst du überhaupt, was hier auf wen abgebildet wird (und zurück über das Urbild)? Den Eindruck habe ich nicht bei dem, was du da schreibst. unglücklich

22.11.2010, 23:48

Schenniche1986

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Doch, ich hatte mir deinen Beweis durchgelesen und ich verstehe diesen auch.

Mein Problem lag darin, dass ich wirklich genau die Sigma-Algebren abbilden wollte.

Also aufgrund der A-Messbarkeit von f liegen die Urbilder der Borelmengen in A.
Und wegen der echten Teilmengenbeziehung $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ liegen diese Urbilder auch in B, deshalb ist B auch messbar.

Reicht diese Formulierung für einen mathematischen Beweis aus?

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