Beweis: Produkt lipschitz-stetiger Fkten wieder lipschitz-stetig

19.11.2010, 17:26

rauschgold

Beweis: Produkt lipschitz-stetiger Fkten wieder lipschitz-stetig

Hallo liebes Matheboard,

leider weiß ich gerade nicht mehr bei meinem Übungsblatt der Gewöhnlichen DGL weiter. Ich muss beweisen, dass das Produkt zweier lokal lipschitz-stetiger Funktionen f und g auf einer offenen Menge D, Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray*}$ dort wieder stetig ist und ebenfalls einer lokalen Lipschitz-Beindgung genügt.

Im Moment haperts an der lokalen Lipschitz-Stetigkeit.
Folgende Abschätzung bekomme ich durch das Einschieben eines Nullterms zustande:

$\begin{eqnarray*} || f(x)g(x) - f(y)g(y) || = || f(x)g(x) - f(y)g(x) + f(y)g(x) - f(y)g(y) || \leq ||g(x) * [f(x) - f(y)] || + || f(y) * [g(x) - g(y) || \end{eqnarray*}$

Nun will ich die Terme

$\begin{eqnarray*} f(x) - f(y) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g(x) - g(y) \end{eqnarray*}$

mit ihrer lokalen Lipschitz-Bedingung abschätzen, aber die lautet ja nur

$\begin{eqnarray*} || f(x) - f(y) || \leq L_f ||x - y|| \end{eqnarray*}$

(und dasselbe mit anderer Lipschitz-Konstante für g), also mit der Norm drumherum und hier darf ich die Norm eines Produkts ja nicht einfach als Produkt der Normen schreiben (dachte ich jedenfalls ...) also

$\begin{eqnarray*} ||g(x) * [f(x) - f(y)] || + || f(y) * [g(x) - g(y) || = || g(x) || || f(x) - f(y) || + || f(y) || || g(x) - g(y) || = || g(x) || * L_f || x - y || + || f(y) || * L_g || x - y || \end{eqnarray*}$ .

Ein weiteres Problem ist, dass x und y ja nicht fest sind und somit f(y) und g(x) nicht nach oben abgeschätzt werden können, weil ich ja auch nur weiß, dass meine Menge D offen (und nicht kompakt ist) und somit eine Abschätzung über das Maximum der jew. Funktion nicht möglich ist.

Leider komme ich da nicht weiter.

Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte smile

Vielen Dank schonmal!

Grüße,
rauschgold

20.11.2010, 00:34

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ein weiteres Problem ist, dass x und y ja nicht fest sind und somit f(y) und g(x) nicht nach oben abgeschätzt werden können, weil ich ja auch nur weiß, dass meine Menge D offen (und nicht kompakt ist) und somit eine Abschätzung über das Maximum der jew. Funktion nicht möglich ist.

Die offene Menge darfst du selber wählen. Insbesondere kannst du eine wählen, die im Innern einer kompakten Menge liegt.

z.B. wählst du für gegebens x zuerst eine offene Umgebung von x, auf der sowohl f und g einer lokalen Lipschitzbedingung genügen und dann wählst du darin eine kompakte Umgebung von x.

Damit kannst du zusätzlich zu den Lipschitzabschätzungen über das Maximum von f und g abschätzen. Diese Abschätzung gilt dann auf der kompakten Umgebung von x, also insbesondere auch im Innern dieser Umgebung.

Grüssle Wink

21.11.2010, 18:08

rauschgold

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo gonnabphd, vielen Dank für deine Antwort. Dazu hab ich vorhin auch einen Satz im Skript gefunden, der eben besagt, dass ich in jeder offenen Menge eine kompakte Zylindermenge finden kann, auf der dann die Funktion der Lipschitz-Bedingung genügt.

Eine kleine Formfrage habe ich dennoch: wie ist es mit den Abschätzungen?
Darf ich die

$\begin{eqnarray*} f(x) - f(y) \end{eqnarray*}$

bzw. dasselbe für die Funktion g denn einfach aus der Norm rausziehen? Das darf man doch eigentlich nur mit Skalaren, aber wenn das hier nicht geht, dann weiß ich nicht, wie ich abschätzen soll!

Vielleicht kann mir das noch jemand beantworten. Danke schonmal :-)

21.11.2010, 20:11

rauschgold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

Beim nochmaligen Drüberlesen fällt mir aber noch was auf: nämlich: liegt nun meine kompakte Umgebung IN der offenen Umgebung oder liegt die offene Umgebung IN der kompakten Umgebung?

In deinem ersten Satz sagst du, ich kann mir eine offene Menge wählen, die in einer kompakten Menge liegt.

Danach sagst du aber, ich suche mir erst eine offene Umgebung von x und wähle dann DARIN eine kompakte Umgebung. Muss die offene Umgebung nicht IN der kompakten liegen?

Und wenn die Lipschitz-Bedingung dann in meiner offenen Umgebung gilt, dann gibts doch eine Art "Diffferenz" zwischen der offenen Umgebung und der kompakten und da weiß ich ja nicht, ob dort auch eine Lipschitz-Bedingung erfüllt ist (wenn man sich vorstellt, dass die kompakte Umgebung die offene umschließt).

Wäre nett, wenn du mir das noch erläutern könntest :-)
Danke :-)

21.11.2010, 20:28

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Sei x beliebig. Dann gibt es offene Umgebungen U und V von x auf welchen f bzw. g Lipschitzstetig sind.
Wähle eine kompakte Umgebung K von x mit $\begin{eqnarray*} K \subset U \cap V \end{eqnarray*}$ . (Wieso gibt es so eine Umgebung?)
Zeige, dass für alle y, z in K:

$\begin{eqnarray*} \Vert f(y)g(y) - f(z)g(z) \Vert \le C \Vert y-z \Vert \end{eqnarray*}$

für eine Konstante C. Benutze dabei, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind.
Schliesse daraus, dass es eine offene Umgebung von x gibt, auf welcher $\begin{eqnarray*} f\cdot g \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig ist.

21.11.2010, 21:17

rauschgold

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort :-)

Spontan fällt mir dazu ein: eine kompakte Menge ist ja nur die Vereinigung endlich vieler offener Mengen. Und die Vereinigung offener Mengen ist ja wieder offen. Also wähle ich eine Vereinigung offener Mengen und dann nehme ich von diesen offenen Mengen nur so viele, dass ich schon eine kompakte Menge habe und dann steckt die kompakte Menge in meiner "großen" (offenen) Vereinigung der offenen Mengen.

Und das münze ich dann auf Umgebungen um ...

Klingt etwas kompliziert ... :-/

21.11.2010, 23:28

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir wahrscheinlich angewöhnen, in Argumenten immer erst ein paar Dummie-Tests durchzuführen, d.h. nach einfachen Gegenbeispielen zu suchen.

Zitat:

Spontan fällt mir dazu ein: eine kompakte Menge ist ja nur die Vereinigung endlich vieler offener Mengen.

Das ist bestimmt nicht eure Definition einer kompakten Menge. Und nicht jede kompakte Menge kann so erhalten werden.

Zitat:

Und die Vereinigung offener Mengen ist ja wieder offen. Also wähle ich eine Vereinigung offener Mengen und dann nehme ich von diesen offenen Mengen nur so viele, dass ich schon eine kompakte Menge habe und dann steckt die kompakte Menge in meiner "großen" (offenen) Vereinigung der offenen Mengen.

Die Menge $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ genügt z.B. dieser Beschreibung, aber sie ist mit Sicherheit nicht kompakt.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis: Produkt lipschitz-stetiger Fkten wieder lipschitz-stetig

Verwandte Themen