Folgenuntersuchung - bitte korrektur

19.11.2010, 17:42

Azurech

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Folgenuntersuchung - bitte korrektur

Hallo, ich hätte gerne einen Blick auf meine Rechung, denn ich glaube das Ergebnis ist falsch.

Die Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit den Folgengliedern $\begin{eqnarray*} a_n := \sqrt{n \cdot (n + 1)} - n \end{eqnarray*}$ konvergiert und bestimmen sie gegebenfalls ihren Grenzwert.

Hinweis: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{\frac{n+1}{n} } = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} a_n := \sqrt{n \cdot (n + 1)} - n \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt{n² + n} - n \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt{n²} + \sqrt{n} - n \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Ist diese Rechnung richtig? Geht das so? Ich frag mich nur so eben, was mir der Hinweis nun bringt, deswegen denke ich, dass es falsch ist.

19.11.2010, 17:43

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\neq \sqrt a +\sqrt b \end{eqnarray*}$ !!!

Denk mal lieber übers Erweitern mit der 3. Binomischen Formel nach.

19.11.2010, 17:49

Azurech

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Oh man, das geht ja nicht... :>

Aber ich kann doch aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{n \cdot (n + 1)} - n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} + \sqrt{n + 1} - n \end{eqnarray*}$ machen, oder?

19.11.2010, 17:49

Iorek

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Nein.

unglücklich

19.11.2010, 17:59

Azurech

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Echt nicht? Aber man kann doch irgendwie Wurzeln auseinander ziehen?
Oder brauch ich das gar nicht?

Ja, 3. binomische Formel..

Bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{n \cdot (n + 1)} - n \end{eqnarray*}$

Ist dann das $\begin{eqnarray*} \sqrt{n \cdot (n + 1)} \end{eqnarray*}$ = a
und das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ = b

?

19.11.2010, 18:09

Iorek

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Du kannst Wurzeln multiplikation auseinander ziehen. $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a \cdot \sqrt b \end{eqnarray*}$

Ja, so kannst du a und b wählen, um damit zu erweitern.

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19.11.2010, 18:18

Azurech

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Achja, so war das... Hammer

Hammer

Ok. Dann wollen wir mal.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n \cdot (n + 1)} - n \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n \cdot (n + 1)} - n) * (\sqrt{n \cdot (n + 1)} + n)}{\sqrt{n \cdot (n + 1)} + n} \end{eqnarray*}$

kurze Zwischenfrage, bevor ich weitermachen: Ich muss doch so erweitern oder? Also auch durch die Erweiterung teilen?

19.11.2010, 18:21

Iorek

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Ja, ansonsten würdest du die Folge verändern. smile

smile

19.11.2010, 18:32

Azurech

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Dann weiter smile

smile

<=> $\begin{eqnarray*} \frac{n(n + 1) - n²}{\sqrt{n \cdot (n + 1)} + n} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} \frac{n² + n - n²}{\sqrt{n \cdot (n + 1)} + n} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n \cdot (n + 1)} + n} \end{eqnarray*}$

So? Aber was soll mir nur der Hinweis sagen?^^

19.11.2010, 18:36

Iorek

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Den Hinweis brauchen wir gar nicht, den hab ich außer Acht gelassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Form den Nenner ein klein wenig um, multiplizier die Klammer unter der Wurzel aus und guck, ob du danach vielleicht etwas ausklammern kannst.

19.11.2010, 18:41

Azurech

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Darf ich wenn ich jetzt die Klammer ausmultipliziert habe, n auch aus der Wurzel ausklammern?

19.11.2010, 18:43

Iorek

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Dass kommt drauf an, wie du das anstellst, du kannst n aus der Wurzel rausziehen, was bleibt dann unter der Wurzel stehen? smile

smile

19.11.2010, 18:52

Azurech

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Versteh ich jetzt nicht. Wenn erst die Klammer ausmultipliziert habe und nun unter der Wurzel ausklammer, geh ich ja ein Schritt zurück.
Was soll ich denn im Nenner noch machen können? Erkenn das grade nicht.

19.11.2010, 18:54

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}+n=\sqrt{n^2\left(1+\frac 1n\right)}+n=n\sqrt{1+\frac 1n}+n \end{eqnarray*}$ , du sollst in der Wurzel nicht n ausklammern, sondern rausziehen.

19.11.2010, 18:58

Azurech

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Ah, so geht das.
Kann ich dann das n aus dem Zähler und Nenner noch wegkürzen?

19.11.2010, 18:59

Iorek

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Ja, du kannst jetzt im Nenner n ausklammern und kürzen, dann sind wir auch eigentlich schon am Ziel.

19.11.2010, 19:04

Azurech

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Wie kann ich das denn noch weiter ausklammern?
so?

$\begin{eqnarray*} n(\sqrt{1 + \frac{1}{n} } + 1) \end{eqnarray*}$

19.11.2010, 19:05

Iorek

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Nicht weiter ausklammern, so stimmt das doch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt kannst du die Grenzwertsätze anwenden.

Edit: Und jetzt seh ich auch, worauf der Hinweis abzielt...wenn du den Term unter der Wurzel zusammenfasst, hast du genau den Hinweis da stehen.

19.11.2010, 19:10

Azurech

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Achso, ja weil doch ausklammern sagtest^^

Dann steht da nach dem kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} } + n} \end{eqnarray*}$

Und wie kriege ich da das Selbe wie im Hinweis raus? o_O

19.11.2010, 19:25

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
wenn du den Term unter der Wurzel zusammenfasst

Einfach addieren.

Aber: wieso steht bei dir im Nenner noch ein n? Da hatten wir eben noch eine 1 stehen.

19.11.2010, 19:35

Azurech

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Achso meintest du das dann grade. Ich dachte, ich sollte das nicht so weit ausklammern. :>

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} } + 1} \end{eqnarray*}$

<= > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\frac{n + 1}{n} } + 1} \end{eqnarray*}$

Ja....
und das sagt mir nun was?

das ganze konvergiert und geht gegen 0?

Edit:

Ist 1 + (1 / n) denn überhaupt das Selbe wie (n+1) / n ?

19.11.2010, 19:39

Iorek

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RE: Folgenuntersuchung - bitte korrektur
Wieso geht das denn gegen 0? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Azurech
Hinweis: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{\frac{n+1}{n} } = 1 \end{eqnarray*}$

Dein Zähler ist konstant, d.h. für den Grenzwert ist nur noch der Nenner interessant, da kannst du jetzt den Hinweis verwenden.

19.11.2010, 19:45

Azurech

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Oh.. also 1/2 ist der Grenzwert.

19.11.2010, 19:46

Iorek

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Ja.

Freude

19.11.2010, 19:48

Azurech

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Man, alle Aufgaben in 15min und an so einer scheiter ich^^

Danke auf jeden Fall Augenzwinkern

Augenzwinkern

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