Stetigkeit bei rationalen/gebrochen rationalen Funktionen!?

19.11.2010, 18:07	Elidollar	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit bei rationalen/gebrochen rationalen Funktionen!? Meine Frage: In der Vorlesung Mathematik I für Ökonomen betrachten wir im Moment verschiedene Funktionen und überprüfen diese unter anderem auf Stetigkeit. Dabei habe ich gelesen, dass bei rationalen und gebrochen rationalen Funktionen, die Funktion immer stetig sei. Was macht denn überhaupt ein rationale Funktion aus? Ist jeden Funktion stetig deren Exponent kein Bruch ist (also alle Wurzeln), die lg's beinhaltet oder e ? Bitte keine Hinweise auf die Wikipedia Seite, denn da habe ich natürlich schon gesucht, habe es aber dort nicht versanden. Vielen Dank im voraus. Meine Ideen: Alle Funktionen die keine Wurzeln, kein e, keine gebrochenen Exponenten und kein ln/Lg beinhalten sind rationale Funktionen?
19.11.2010, 18:43	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weisst sicher was ein Polynom ist. In der Schule hiess das eine Ganzrationale Funktion. Nun eine rationale Funktion ist eine die aussieht wie $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{A(x)}{B(x)} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ beides Polynome sind. Zum Beispiel also $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^2+1}{x+2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^2+2010}{x^{2010}+\pi x^3+e^2} \end{eqnarray}$ oder auch jedes Polynom [Nenner ist eben genau das konstante Polynom 1]. Nun muss man einmal beweisen, dass alle konstanten Funktionen und die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ stetig sind. Dann gibt es einen Satz, der besagt dass alle Summen, Differenzen, Produkte stetiger Funktionen wieder stetig sind und genauso Brüche stetiger Funktionen sind stetig [wo definiert]. Ausserdem sind alle Verkettungen stetiger Funktionen wiederum stetig. Also $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ ist stetig, also ist auch $\begin{eqnarray} f(x)\cdot f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ stetig usw. Insbesondere ist jedes Polynom und jede rationale Funktion stetig [wo definiert]. Separat zeigt man, dass die Exponential und die Logarithmusfunktion stetig sind und damit auch Sinus, Cosinus, Tangens. Mit diesen Informationen folgt sofort dass zb $\begin{eqnarray} f(x)=5x^2+7e^{\sin(x)}+\frac{\log(x)}{x^{2010}} \end{eqnarray}$ stetig überall dort ist, wo es definiert ist.

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