Nachweis einer Partition einer Symmetriegruppe

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19.11.2010, 19:29	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis einer Partition einer Symmetriegruppe Hallo zusammen, An folgender Aufgabe zerbreche ich mir gerade den Kopf. In $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ betrachten wir für $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n \end{eqnarray}$ die Untergruppe $\begin{eqnarray} (\sigma):=\{\sigma^i\|i \in \mathbb Z\} \end{eqnarray}$ . (2) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} M:=\{\tau \cdot (\sigma)\|\tau \in S_n\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tau \cdot (\sigma):=\{\tau \cdot \sigma^n\|n \in \mathbb Z\} \end{eqnarray}$ ist eine Partition der Menge $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ . Ich weiß. dass ich irgendwie Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen müsste. Allerdings weiß ich nicht wie das geschehen soll.
19.11.2010, 19:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind nur spezielle Nebenklassen
19.11.2010, 20:08	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wenn ich das richtig verstehe müsste es reichen, dass ich sage: $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \sigma^i \in \sigma \end{eqnarray}$ sein muss (Abgeschlossenheit), ist $\begin{eqnarray} \sigma^i \in S_n \end{eqnarray}$ . Und da $\begin{eqnarray} \tau \in S_n \end{eqnarray}$ muss auch $\begin{eqnarray} \tau \cdot \sigma^i \in S_n \end{eqnarray}$ sein. Verstehe ich das richtig, dass M dann die linke Nebenklasse von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ist?
19.11.2010, 20:23	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. M ist das System der Linksnebenklassen von $\begin{eqnarray} (\sigma) \end{eqnarray}$
19.11.2010, 21:58	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok hab ich verstanden, aber mir ist noch nicht klar wie ich zeigen soll, dass M eine Partition von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ist.
19.11.2010, 22:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja entweder du gehst den Weg den ich verlinkt habe über die Äquivalenzrelation oder du zeigst es direkt. Es ist klar dass M die S_n überdeckt, also jedes Element der S_n in einer der Mengen ist. Nun musst du eben noch zeigen, dass wenn zwei dieser Mengen nicht disjunkt sind, diese bereits gleich sind.
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19.11.2010, 22:51	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann will ich es mal probieren: Z.z. $\begin{eqnarray} \tau \cdot (\sigma) \cap \tau^, \cdot (\sigma) \neq \emptyset \Rightarrow \tau \cdot (\sigma) = \tau^, \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ Beweis: Wähle eine Element x aus dem Durchschnitt. Daher gilt $\begin{eqnarray} x = au = bv \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} u,v \in (\sigma) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \in \tau \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \in \tau^, \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} a=b(vu^{-1})\in b\cdot \sigma \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} c \in a \cdot \sigma \end{eqnarray}$ und es soll ein $\begin{eqnarray} z \in U \end{eqnarray}$ esistieren mit c=az Da $\begin{eqnarray} a=bvu^{-1} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} c = b(vu^{-1}z)\in b \cdot \sigma \end{eqnarray}$ Es folgt $\begin{eqnarray} a \cdot \sigma \subset b \cdot \sigma \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \cdot \sigma \subset a \cdot \sigma \end{eqnarray}$ , daher $\begin{eqnarray} b \cdot \sigma = a \cdot \sigma \end{eqnarray}$ . q.e.d. Ist das so korrekt?
19.11.2010, 23:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
tau ist keine Menge! Vom Ansatz her ist der Beweis aber ok
20.11.2010, 11:23	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann will ich es mal probieren: Z.z. $\begin{eqnarray} \tau \cdot (\sigma) \cap \tau^, \cdot (\sigma) \neq \emptyset \Rightarrow \tau \cdot (\sigma) = \tau^, \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ Beweis: Wähle eine Element x aus dem Durchschnitt. Daher gilt $\begin{eqnarray} x = au^i = bv^i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} u,v \in (\sigma) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} a=b(v^iu^{-i})\in b\cdot \sigma \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} c \in a \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ und es soll ein $\begin{eqnarray} z \in (\sigma) \end{eqnarray}$ existieren mit c=az Da $\begin{eqnarray} a=bv^iu^{-i} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} c = b(v^iu^{-i}z)\in b \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ Es folgt $\begin{eqnarray} a \cdot (\sigma) \subset b \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \cdot (\sigma) \subset a \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ , daher $\begin{eqnarray} b \cdot (\sigma) = a \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ . q.e.d. So hab den Beweis nochmal ein wenig nachbearbeitet und tau als Menge rausgenommen und da $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ eine zyklische Untergruppe ist, auch die Potenz i reingenommen.
20.11.2010, 11:59	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} u^i, v^i \end{eqnarray}$ ist sinnlos, entweder nur u und v oder du nimmst $\begin{eqnarray} \sigma^i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^j \end{eqnarray}$
20.11.2010, 12:10	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.z. $\begin{eqnarray} \tau \cdot (\sigma) \cap \tau^, \cdot (\sigma) \neq \emptyset \Rightarrow \tau \cdot (\sigma) = \tau^, \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ Beweis: Wähle eine Element x aus dem Durchschnitt. Daher gilt $\begin{eqnarray} x = au = bv \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} u,v \in (\sigma) \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} a=b(vu^{-1})\in b\cdot \sigma \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} c \in a \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ und es soll ein $\begin{eqnarray} z \in (\sigma) \end{eqnarray}$ existieren mit c=az Da $\begin{eqnarray} a=bvu^{-1} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} c = b(vu^{-1}z)\in b \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ Es folgt $\begin{eqnarray} a \cdot (\sigma) \subset b \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \cdot (\sigma) \subset a \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ , daher $\begin{eqnarray} b \cdot (\sigma) = a \cdot (\sigma) \end{eqnarray}$ . So müsste es dann stimmen. Auch wenn ich immer noch nicht wirklich verstehe warum ich das so machen kann. Naja iwann werden schon die Groschen fallen...
20.11.2010, 12:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a=\tau \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\tau' \end{eqnarray}$ fehlt noch, hab ich vorhin vergessen anzumerken. Aber dann passt es.
20.11.2010, 13:13	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe

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