Unterschiedliche Linearkombination einer Zufallsvariable je nach Wertebereich

19.11.2010, 23:00

JonnyM

Unterschiedliche Linearkombination einer Zufallsvariable je nach Wertebereich

Meine Frage:
X ist eine bekannte Zufallsvariable. Es soll Y als Linearkombination aus X für unterschiedliche Bereiche bestimmt werden.
a,b,l sind dabei Konstanten.

Y=a*X 0<=x<=l
=a*X-b*(X-l) l<=x<=l

Meine Ideen:
Trotz intensiver Internetrecherche und Grübelns ist die blendende Idee bisher leider noch nicht gekommen...

Ich würde mich daher sehr freuen, wenn wir jemand bei einem Ansatz helfen könnte!

19.11.2010, 23:19

JonnyM

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Ich meinte natürlich lineare Transformation! verwirrt

19.11.2010, 23:42

René Gruber

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Ich sehe keine Aufgabe oder Problemstellung, sondern nur ein paar allgemeine Überlegungen. verwirrt

19.11.2010, 23:47

JonnyM

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Ja, das ist korrekt. Ist mir entgangen.
Es geht darum, die Dichtefunktion von Y und letzlich den Erwartungswert und das Lower Partial Moment LPM[1,EW] zu bestimmen.

19.11.2010, 23:54

René Gruber

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Es soll also

$\begin{eqnarray*} Y = \begin{cases} aX & \;\textrm{für}\; 0\leq X\leq l \\ aX-b(X-l) & \;\textrm{für}\; l\leq X\leq l \end{cases} \end{eqnarray*}$

sein? Dass mit der Fallbedingung in der zweiten Zeile was nicht stimmt, sieht wohl so ziemlich jeder.

Es ist schon spät am Tage, aber etwas mehr Konzentration sollte schon sein, oder wieviele Posts braucht es noch, bis wenigstens die Problemstellung einigermaßen plausibel rüberkommt? Für mich ist es jedenfalls für diese Nacht zu spät. Wink

19.11.2010, 23:55

JonnyM

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Es ist korrekt, es sollte unendlich in der zweiten Bedingung heißen.

20.11.2010, 16:18

René Gruber

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Das ganze artet ein wenig in Fallunterscheidungen bzgl. $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ aus. Es wäre also hilfreich, wenn es noch eine weitere Voraussetzung wie etwa $\begin{eqnarray*} a>b\geq 0 \end{eqnarray*}$ geben würde...

In dem Fall ist

$\begin{eqnarray*} h(x) = \begin{cases} ax & \;\textrm{für}\; 0\leq x\leq l \\ ax-b(x-l) & \;\textrm{für}\; x\geq l \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

eine streng monoton wachsende Funktion, z.B. für $\begin{eqnarray*} a=3,b=2,l=4 \end{eqnarray*}$ :

In einem solchen Fall kann man immer die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y=h(X) \end{eqnarray*}$ auf die von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ so zurückführen:

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y=h(X)\leq y) = P\left( X\leq h^{-1}(y) \right) = F_X\left( h^{-1}(y) \right) \end{eqnarray*}$ ,

das kann man dann für obiges $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ für die zwei Fälle dann noch genau aufschlüsseln.

Sollte es eine solche Bedingung wie $\begin{eqnarray*} a>b\geq 0 \end{eqnarray*}$ nicht geben, ja dann wird es (wie bereits am Anfang erwähnt) hässlicher: Fallunterscheidung...

20.11.2010, 16:25

JonnyM

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Danke für die Antwort.
Leider liegt in diesem Fall keine streng monton steigene Funktion vor: b>a>0

Wie müsste in diesem Fall die Transformation vorgehen.

Das generelle Problem, dass ich sehe, ist die Frage, wie ich die sgn-Funktion invertieren kann, was ja Voraussetzung für die Transformation wäre...

Ich hoffe, ich irre mich und es ist einfacher Augenzwinkern

20.11.2010, 17:11

René Gruber

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Zitat:

Original von JonnyM
Das generelle Problem, dass ich sehe, ist die Frage, wie ich die sgn-Funktion invertieren kann

Wieso die sgn-Funktion? Vergiss mal das, was im Plot steht - das liegt nur an den beschränkten Möglichkeiten der hiesigen Plotfunktion.

20.11.2010, 17:44

JonnyM

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Ok, dann bin ich gespannt...

...es ist ja dann notwendig über mehrere Bereiche zu transformieren...Wir würde sich dann die Stammfunktion bilden? - Über welche Integralgrenzen?

Vielen Dank bereits jetzt für die Zeit, die Sie aufbringen!!!

20.11.2010, 17:49

René Gruber

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Worauf bist du gespannt? Ich bin oben ziemlich ausführlich drauf eingegangen, was zu tun ist - jetzt bist du mal an der Reihe, was zu tun. Oder denkst du, ich serviere dir alles tafelfertig?

20.11.2010, 17:54

JonnyM

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Nein, ich erwarte dies sicher nicht!

Wie bereits in meinem letzten Post geschrieben, ist mir unklar, wie die o.g. Vorgehensweise auf mehrere Bereiche angewendet werden soll... Grundsätzliches Transformieren ok, aber ich habe beim besten Willen keine Ahnung, wie ich dies über bestimmte Bereiche anstellen soll...

Leider habe ich bisher auch weder in Lehrbüchern noch im Internet dazu einen Anhaltspunkt gefunden!

Ich wäre daher wirklich sehr dankbar, wenn Sie mir einen Tipp geben könnten, wie dies über verschiedene Bereiche möglich ist? - Bspw. wie wähle ich in solchem Fall, die für die Transformation notwendigen Integrationsgrenzen?

Sie würden mir wirklich sehr helfen!

20.11.2010, 18:05

René Gruber

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Wie oft soll ich das noch erzählen: Es hängt von den Parameterkombinationen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ab.

Also dann zuerst mal nur der Fall $\begin{eqnarray*} a>b\geq 0 \end{eqnarray*}$ mit der oben angegebenen Funktion $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ . Deren Umkehrfunktion ist dann

$\begin{eqnarray*} h^{-1}(y) = \begin{cases} \frac{y}{a} & \;\textrm{für}\; 0\leq y\leq la \\ \frac{y-la}{a-b}+l & \;\textrm{für}\; y\geq la \end{cases} \end{eqnarray*}$

und somit dann

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = \begin{cases} F_X\left( \frac{y}{a} \right) & \;\textrm{für}\; 0\leq y\leq la \\ F_X\left(\frac{y-la}{a-b}+l\right) & \;\textrm{für}\; y\geq la \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Da du dich über die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht weiter geäußert hast, ist das erstmal alles.

------------------------

Ist nun aber z.B. $\begin{eqnarray*} b > a > 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nicht mehr streng monoton wachsend, der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} F_Y(y) = F_X\left( h^{-1}(y) \right) \end{eqnarray*}$ ist dann nicht mehr richtig, schon allein deshalb, weil $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ da gar nicht existiert... usw., und so fort.

20.11.2010, 18:08

JonnyM

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Aber genau das hatte ich doch in meinem Post von 16:25 geschrieben, dass sie eben nicht streng monoton wachsend ist, da b>a!

Daher wäre die Frage, wie hier vorzugehen ist...
Sorry für die Konfusion!

20.11.2010, 18:11

René Gruber

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Na dann überleg dir mal, wie da die Umkehrung

$\begin{eqnarray*} P(h(X) < y) = P(X \ldots) \end{eqnarray*}$

durchzuführen ist.

P.S.: Zur gedanklichen Unterstützung dann mal die Transformationsfunktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} a=3,b=5,l=4 \end{eqnarray*}$ :

Wie kann man jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} P(Y\leq 10) \end{eqnarray*}$ berechnen, d.h. auf welche Bereiche von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ führt man das zurück?

20.11.2010, 18:46

JonnyM

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Ja, genau an dieser Stelle hänge ich seit Tagen! - Prinzipiell müsste die Umkehrfunktion ja weiterhin gelten, allerdings mit anderen Grenzen, da eben Ausprägungen von Y in beiden Fällen auftreten können...Sie ist eben nicht bijektiv!

Um ehrlich zu sein, ich habe wirklich keine Ahnung, wie in einem solchen Fall zu verfahren ist...

Das ist auch der Grund warum ich mich an dieses Forum gewendet habe, der Rest ist klar und offensichtlich...

Ich bitte wirklich inständig um einen Tipp! - Es handelt sich für mich um eine sehr wichtige Arbeit!

Danke Vorab!

PS: Zu Ihrer letzten Ergänzung: Auf irgendwas zwischen 3-4 und 5 - wie gesagt nicht bijektiv...habe daher keine Ahnung wie hier am besten vorzugehen ist!

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