Dimension und Untervektorraum

20.11.2010, 04:00

Monalisa-Leo

Dimension und Untervektorraum

Hallo,

diese Aufgabe stellt mich vor große Probleme! Ich verstehe zum einen manche Begrifflichkeiten nicht und ich weiß nicht genau was ich in dieser Aufgabe machen soll! Daher fällt es mir schwer eine Idee für einen Lösungsansatz zu finden.

Wäre toll, wenn mir jemand diese Aufgabe erklären könnte.

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} C^{\infty}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ?

Der Begriff Dimension ist für mich neu und ich kann gerade mit den Definitionen in den Büchern nicht viel anfangen.

Was ist eine affine Funktion?
laut def.: Zu einem affinen Unterraum v + w ist der UVR W eindeutig bestimmt, und v kann beliebig in x gewählt werden. Aber was bedeutet das?

Vielen Dank.

Zur Aufgabenstellung:

Es sei $\begin{eqnarray*} C^{\infty}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ der reelle Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und U $\begin{eqnarray*} \subset C^{\infty } (\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ der Untervektorraum

U:= $\begin{eqnarray*} \left\{ f \in E | f (o) = f'(o) = 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

Es sei außerdem

W: = $\begin{eqnarray*} \left\{ f: \mathbb R \to \mathbb R | x \to ax + b, a \in \mathbb R , b \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

die Menge der affinen Funktionen.

a) Zeigen Sie, dass W ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} C^{\infty} (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist und Dimension zwei hat.

b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} C^{\infty} (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} U \oplus W \end{eqnarray*}$ . Gegeben eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \in C^{\infty } (\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , bestimmen Sie eine Formel für die eindeutig bestimmten Funktionen $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f = u + w \end{eqnarray*}$ .

20.11.2010, 09:15

kiste

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RE: Dimension und Untervektorraum

Zitat:

Original von Monalisa-Leo
Es sei $\begin{eqnarray*} C^{\infty}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ der reelle Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
[...]
W: = $\begin{eqnarray*} \left\{ f: \mathbb R \to \mathbb R | x \to ax + b, a \in \mathbb R , b \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

die Menge der affinen Funktionen.

Der Aufgabentext beantwortet doch deine beiden Fragen bereits.

Intuitiv ist W 2-dimensional weil du 2 Wahlmöglichkeiten a und b hast.

21.11.2010, 23:42

Monalisa-Leo

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RE: Dimension und Untervektorraum
Hallo

Vielen Dank für deinen Antwort. Ich habe nun seit zwei Tagen versucht aus der Antwort schlau zu werden. Mir ist aufgefallen, dass ich meine Frage nicht präzise genung gestellt habe und ich eigentlich weiß, was ne Dimension und ne affine Funktion ist...sorry!

„dim0 wäre ein Punkt, Dim1 ist eine Gerade, Dim2 ist eine Ebene und Dim3 ein Raum“

zu a)

Ich habe nun nach ausgiebigen grübeln, nachlesen, ausprobieren... folgende Ansätze...
Was kann ich von dem allem unten aufgeführtem zur Lösung der Aufgabe nehmen... Ich bin wirklich ratlos und am Verzweifeln! Was mache ich nur mit U und W?

U: = $\begin{eqnarray*} \left\{ f \in E | f \left(0\right)= f'\left(0\right)= 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Wenn die Ableitung auch 0 ist, kann das ja eigentlich nur ein Punkt sein und keine Ebene...daher Dim0 oder? aber das ist ja auch nicht gefragt. Was bedeutet das E? E ist ja nicht definiert...

Ich würde zu gern verstehen, was ich hier denken soll! unglücklich

W: = $\begin{eqnarray*} \left\{ f:\mathbb R \to \mathbb R | x \to ax + b , a \in \mathbb R , b\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

a=b = 1

$\begin{eqnarray*} f (x+y) = ax+ ay + b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) + f(y) = ax + b + ay + b \end{eqnarray*}$

Def.:
UVR:

Sei V ein k-VR und $\begin{eqnarray*} U \leq V \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge. Die Menge U heisst UVR, wenn $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall \vec{u}_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall \vec{u}_{2} \in U \end{eqnarray*}$ gilt:

i) $\begin{eqnarray*} \lambda * \vec{u}_{1}\in U \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2} \in U \end{eqnarray*}$

Kann hier die Summenregel und Produktregel helfen zur Lösung zu gelangen?... aber mit welchen Zahlen/Werten?
Wie kann ich diese Def. auf die Aufgabenstellung beziehen?

zu b)

V ein VR, U, W s V UVR. Falls $\begin{eqnarray*} U \cap W = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ dann wird $\begin{eqnarray*} U + W \end{eqnarray*}$ als "direkte Summe" bezeichnet. Geschrieben $\begin{eqnarray*} U \oplus W \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} C^{\infty } \left(\mathbb R \right) = U \oplus W \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} C^{\infty } \left(\mathbb R \right) \in U \cap W \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} U + W = 0 = 0 \in U + 0 \in W \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} C^{\infty } \left(\mathbb R \right) + \left(-C^{\infty } \left(\mathbb R \right)\right) \end{eqnarray*}$

wegen der Eindeutigkeit der Darstellung ist:

$\begin{eqnarray*} C^{\infty } \left(\mathbb R \right) = 0. \Rightarrow U \cap W =\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ daher, dann:

$\begin{eqnarray*} f= u+w \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2010, 07:49

kiste

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Das mit den Dimensionsanschauungen aus der Schule vergisst du ganz schnell wieder. Oder was soll eine Ebene in einem unendlich dimensionalen Vektorraum sein? Augenzwinkern

Lese dir für den Dimensionsbegriff noch einmal die Definition von linear (un)abhängig, Erzeugendensystem, Basis und natürlich Dimension durch.

Eine affine Funktion ist eine Funktion der Form x |-> ax+b, also etwas was du aus der Schule als lineare Funktion kennst(man nennt sie echt affin, wenn sie nicht linear im Sinne der linearen Algebra ist, wenn also b nicht 0 ist).

Was du mit deinem Beispiel für W meinst verstehe ich nicht, affine Funktionen müssen nicht linear sein zeigt es jedenfalls Augenzwinkern

Was das E ist weiß ich auch nicht, aber interpretier es einmal als $\begin{eqnarray*} E=C^\infty(\mathbb R) \end{eqnarray*}$
Du musst ja nicht zeigen dass U ein Unterraum ist, aber wenn würde das tatsächlich mit der Summen- und Faktorregel funktionieren.

Zeigen musst du ja dass W ein Unterraum ist. Was muss für einen Unterraum gelten? Das zeigen selbst ist nur noch ausschreiben.

Deine Lösung zu b) macht auch syntaktisch keinen Sinn. Betrachte eine Funktion in W für die die erste Ableitung und der Funktionswert Null ist. Was gilt für a und b?

23.11.2010, 05:46

Monalisa-Leo

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RE: Dimension und Untervektorraum
Guten morgen,

ich habe nun noch einen Versuch gestartet diese Aufgabe zu einem glücklichen Ende zuführen!
Ich hoffe, dass das jetzt stimmt, sonst bin ich mit meinem Latein wirklich am Ende!!

zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ UVR von $\begin{eqnarray*} C^{\infty } \in \left(\mathbb R\right) \end{eqnarray*}$

i) nicht leere Menge:

$\begin{eqnarray*} \left(ax, b \right) \in w \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist gleich nicht leere Menge.

ii) Addition:
Es seien $\begin{eqnarray*} u =\left( u_{1}, u_{2}\right) \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C^{\infty } \left(\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w= \left(w_{1}, w_{2}\right) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} u=\left(u_{1} + u_{2},- \frac{1}{2}\left(u_{1} + u_{2}\right) \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=\left(w_{1} + w_{2},- \frac{1}{2}\left(w_{1} + w_{2}\right) \right) \end{eqnarray*}$ also:

$\begin{eqnarray*} U + W = \left(u_{1}+ w_{1}, u_{2} +w_{2}, - \frac{1}{2} \left(u_{1}+ w_{1} \left(u_{2} +w_{2} \right) \right) \right) \in C^{\infty } \left(\mathbb R\right) \end{eqnarray*}$

iii) skalare Multiplikation:

Es seien $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ wie oben und $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$
Es ist $\begin{eqnarray*} w=\left(w_{1} + w_{2},- \frac{1}{2}\left(w_{1} + w_{2}\right) \right) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \lambda w \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(\lambda w_{1} + \lambda w_{2},- \frac{1}{2}\left(\lambda w_{1} + \lambda w_{2} \right) \right) \end{eqnarray*}$ \in C^{\infty } \left(\mathbb R\right).
Also ist $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ein UVR von C^{\infty } \left(\mathbb R\right)

23.11.2010, 05:55

Monalisa-Leo

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Ohje, ich habe einen Fehler entdeckt

zu ii)

$\begin{eqnarray*} U + W = \left(u_{1}+ w_{1}, u_{2}+ w_{2}, - \frac{1}{2} \left(\left(u_{1}+ w_{1}\right)+ \left(u_{2}+ w_{2}\right) \right) \right) \end{eqnarray*}$

23.11.2010, 11:42

kiste

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Wir reden hier von Funktionen, was sollen diese Tupel?

23.11.2010, 21:30

Monalisa-Leo

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SORRRY!!!! Ups

Ich war ja so was von weit weg!!!
Tut mir wirklich Leid! Forum Kloppe

Ist ja schon fast peinlich!

Jetzt aber dafür hoffentlich Richtig:

zu a)

i) $\begin{eqnarray*} w \subset C^{\infty } (\mathbb R ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ax+b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{\infty }(x)= 0 \end{eqnarray*}$

W ist Teilmenge von $\begin{eqnarray*} C^{\infty } (\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(x) = ax +b \end{eqnarray*}$ unendlich oft differenzierbare Abbildung

ii) $\begin{eqnarray*} ax + b + c + d = ax + cx + b + d \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} x (a + c) \in \mathbb R + (b + d) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

iii) $\begin{eqnarray*} \lambda * (ax + b) = \lambda ax \in \mathbb R + \lambda b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dimension:

Basis: $\begin{eqnarray*} \left\{x_{1}, 1 \right\} \end{eqnarray*}$ (durch ausprobieren herausbekommen!)

$\begin{eqnarray*} ax + b*1 = ax + b \end{eqnarray*}$
lineare Unabhängigkeit $\begin{eqnarray*} ax + b*1 = 0 \Rightarrow \forall a, b = 0 \end{eqnarray*}$

Beweis $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ax + s*b = ax + b \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} r = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = 1 \end{eqnarray*}$ kann jede Funktion in der Form $\begin{eqnarray*} ax + b \end{eqnarray*}$ dargestellt werden $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist es dim = 2 (da ja 2 Elemente in der Basis $\begin{eqnarray*} \left\{x_{1}, 1 \right\} \end{eqnarray*}$ enthalten sind).

zu b)

Hier weiß ich wirklich nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Bräuchte dringend einen Anhaltspunkt:

Es geht doch um "direkte Summe", oder?

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