a^3 kongruent a mod 6 beweis

Neue Frage »

20.11.2010, 09:28	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
a^3 kongruent a mod 6 beweis Meine Frage: Hallo, kann mir jemand helfen, diesen Satz zu beweisen? a^3 kongruent a mod 6 oder zumindest eine Idee geben, wie man vorgehen könnte? Meine Ideen: Ich hätte mit vollständiger Induktion angefangen a = km + r, a^3=lm +r -> r muss gleich sein, also konst, m=6 Induktionsanfang mit 1 geht noch. Bei Induktionsschritt(n+1) scheitere ich jedoch kläglich. Oder doch anderer Ansatz?
20.11.2010, 12:18	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere mal $\begin{eqnarray} a(a-1)(a+1) \end{eqnarray}$ aus.
20.11.2010, 12:43	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
a³-a hm - vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber was hat a³-a mit meiner Frage zu tun?
20.11.2010, 12:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir denn über die Bedeutung von $\begin{eqnarray} a \equiv b \pmod p \end{eqnarray}$ im Klaren?
20.11.2010, 12:48	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutung von a kong b mod p also meines Wissens nach haben a und b bei Teilen durch p den gleichen Rest. Weitere Bedeutung?
20.11.2010, 12:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soviel heißt wie a-b ist durch p teilbar... Ist damit die Bedeutung von $\begin{eqnarray} a^3-a \end{eqnarray}$ bzgl. deiner Aufgabe klar?
Anzeige

20.11.2010, 13:01	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
ein schritt weiter ok, also a³ kong a mod 6 <=> a³-a mod 6 = 0 und aus deiner ersten Hilfe folgt a(a+1)(a-1) mod 6 = 0 und jetzt mit vollständiger Induktion? Sorry für die Änfängerfragen...
20.11.2010, 13:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen: $\begin{eqnarray} a^3-a \end{eqnarray}$ ist durch 6 teilbar. Aber was ist denn jetzt $\begin{eqnarray} a(a+1)(a-1) \end{eqnarray}$ ?
20.11.2010, 13:05	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
a³-a ist a(a+1)(a-1) und wenn a³-a durch 6 teilbar ist, dann ist a(a+1)(a-1) auch durch 6 teilbar
20.11.2010, 13:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also musst du nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} a(a+1)(a-1) \end{eqnarray}$ durch 6 teilbar ist. Ideen dazu? Du brauchst keine Induktion.
20.11.2010, 13:09	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke kurz nach Idee: 6 selbst ist keine Primzahl und hat die Teiler 2 und 3?
20.11.2010, 13:18	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wie formuliere ich das mathematisch?
20.11.2010, 13:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau willst du formulieren? Was musst du denn zeigen, wenn du zeigen willst, dass eines Zahl durch 6 teilbar ist? Das ist doch aus der Schule bekannt...Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar wenn, ...
20.11.2010, 13:22	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist
20.11.2010, 13:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Jetzt ist nur noch die Frage wie man leicht einsieht, dass $\begin{eqnarray} (a-1)a(a+1) \end{eqnarray}$ durch 2 und 3 teilbar ist. Beachte mal, warum ich die Faktoren jetzt in dieser Reihenfolge hingeschrieben habe.
20.11.2010, 13:29	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn a ein Vielfaches von 2 ist, dann ist a+1 ein Vielfaches von 3 bzw. wenn a-1 ein Vielfaches von 2 ist, dann ist a ein Vielfaches von 3 äh stopp, da stimmt was nicht...
20.11.2010, 13:43	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
Annahme1: a: gerade Zahl: dann a durch 2 teilbar a-1 oder a oder a+1 muss durch 3 teilbar sein, weil x mod 3 nur 3 Restklassen: 0,1,2 Annahme 2: a: ungerade Zahl: dann a nicht durch 2 teilbar, jedoch a+1 und a-1 und a-1 oder a oder a+1 durch 3 teilbar
20.11.2010, 13:46	digger	Auf diesen Beitrag antworten »
reicht das als Beweis? wie sieht das "mathematischer" aus? Herzlichen Dank für deine geduldige, didaktische Hilfe!
20.11.2010, 14:22	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
also didaktisch war tmo hier wirklich allererste sahne, kann man nich anders sagen... deine argumentation ist auch richtig, ich würde das vielleicht nacheinander zeigen: teilbarkeit durch 2 1. fall: a gerade, dann ist a+1 ungerade und a-1 ungerade und das produkt ungeradegerade ist gerade, also durch 2 teilbar 2. fall a ist ungerade, dann ist aber a+1 gerade, glecihe argumentation, produkt ungeradegerade ist gerade. teilbarkeit durch 3: fall 1: $\begin{eqnarray} a \mod 3 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray}$ , also a ist durch 3 teilbar... fall 2: $\begin{eqnarray} a \mod 3 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow a-1 \mod 3 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray}$ , also a-1 ist durch 3 teilbar fall 3: $\begin{eqnarray} a \mod 3 \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow a+1 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray}$ , also ist a+1 durch drei teilbar.

Neue Frage »

Antworten »

a^3 kongruent a mod 6 beweis

Verwandte Themen