Identität für Fibonacci-Zahlen zeigen

20.11.2010, 09:53	Isomorphismus111	Auf diesen Beitrag antworten »
Identität für Fibonacci-Zahlen zeigen Ich habe noch eine 2.Frage, und zwar soll ich die folgende Identität zeigen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n F_{k}F_{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n (k+1)F_{k+1}(-2)^{n-k} \end{eqnarray}$ Als erstes wäre mir vollständige Induktion in den Sinn gekommen, kann ich es so machen od. nicht? Lg, Isomorphismus111
21.11.2010, 16:25	Isomorphismus111	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand eine Idee? Mir würde wie gesagt nur INduktion in den Sinn kommen.
21.11.2010, 16:31	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt es nur immer, dass die Leute "vergessen" anzugeben, wie ihre Fibonacci-Folge startet. Gewöhnlich nimmt man als Standard nämlich $\begin{eqnarray} F_0=0,F_1=1 \end{eqnarray}$ , in diesem Fall wäre aber deine Behauptung falsch. Du hast vermutlich eine Verschiebung drin und meinst $\begin{eqnarray} F_0=F_1=1 \end{eqnarray}$ , ist das so?
21.11.2010, 16:34	Isomorphismus111	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird im Skriptum nicht explizit angegeben, aber es ist F0=F1=1 gemeint.
21.11.2010, 16:36	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann versuch's doch mal mit Induktion.
23.11.2010, 18:47	Isomorphismus111	Auf diesen Beitrag antworten »
Es tut mir Leid das ich mich erst jetzt melde, ging jedoch nicht früher. Also mit Induktion schaut das bei mir so aus: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n F_{k}F_{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n (k+1)F_{k+1}(-2)^{n-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_0=F_1=1 \end{eqnarray}$ Induktion nach n, setzt daher n = 0 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^0 F_{0}F_{0}=\sum\limits_{k=0}^0 (0+1)F_{0+1}(-2)^{0} \end{eqnarray}$ 1 = 1 w.A Induktionsschritt, n -> n+1 Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n+1} F_{k}F_{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n (k+1)F_{k+1}(-2)^{n+1-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n+1} F_{k}F_{n-k} = \sum\limits_{k=0}^n F_{k}F_{n-k} + F_{k+1}F_{n-k+1}<br /> <br /> = (k+1)F_{k+1}(-2)^{n-k} + F_{k+1}F_{n-k+1} \end{eqnarray}$ Und wie kann ich das jetzt weiter zusammenfassen?
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