Unabhängigkeit, Basis von Folgen

20.11.2010, 10:06

pivotvariable

Unabhängigkeit, Basis von Folgen

Also ich benötige wirklich einmal Hilfe.........mit dem Hintergrund folgender Aufgabe:
Es seien die Folgen $\begin{eqnarray*} a_{1}:=\left(1,0,0,0,0,...\right) a_{2}:=\left(0,1,0,0,0,...\right) b_{1}:=\left(0,1,1,1,1,...\right) b_{2}:=\left(1,0,1,1,1,...\right) \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} Abb\left(\mathbb N ,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ gegeben.
Man soll entscheiden , ob $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind und man soll eine Basis von $\begin{eqnarray*} span\left(a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}\right) \end{eqnarray*}$ bestimmen!

also linear Unabhängig heißt , dass nur die triviale Kombination zum Nullvektor führt.....soweit so gut.....also: $\begin{eqnarray*} \alpha *a_{1}+\beta * a_{2}+\gamma * b_{1}+\lambda * b_{2}= 0 \end{eqnarray*}$ mit alpha,beta,gamma und lambda aus den reellen Zahlen.

Wie untersuche ich aber jetzt speziell die Unabhängigkeit??
Gibt es dafür eine Art Universalrezept?
Man soll das Ganze über ein LGS mit einer Matrix untersuchen können:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0&0&0&... \\ 0&1&0&0&0&... \\ 0&1&1&1&1&.....\\1&0&1&1&1&.... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist diese Matrix richtig......schreibe ich die Vektoren in Zeilen oder Spalten??
Wie untersuche ich dort dann die lineare Unabhängigkeit??

Wie bestimme ich im Allgemeinen eine Basis(=minimales linear unabhängiges Erzeugendensystem des Vektorraums)?
Wie in diesem Fall??

Ich brauche wirklich ein bisschen Verständishilfe zu diesem Thema, weil trotz diverser Buchliteratur ( fischer : LA 1...) sehe ich zwar Definitionen udn Beweise im Allgemeinen aber mir fehlt da noch zum Teil das Verständnis für best. Fälle....oder muss man das einüben?? verwirrt

20.11.2010, 11:41

pivotvariable

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20.11.2010, 12:54

pivotvariable

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20.11.2010, 13:51

pivotvariable

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bitte um Hilfe!

20.11.2010, 14:07

Ibn Batuta

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RE: Unabhängigkeit, Basis von Folgen

Zitat:

Original von pivotvariable
Wie untersuche ich aber jetzt speziell die Unabhängigkeit??

Hast du dir die Definition zu linearer Unabhängigkeit schonmal angeschaut? Schreibe sie doch einmal (hierher) hin und versuche doch mal zu prüfen, wie du hier vorgehen würdest.

Zitat:

Original von pivotvariableGibt es dafür eine Art Universalrezept?

Dieses Universalrezept ergibt sich aus dem genauen Lesen der Definition von linearer Unabhängigkeit.

Zitat:

Original von pivotvariable
Wie bestimme ich im Allgemeinen eine Basis(=minimales linear unabhängiges Erzeugendensystem des Vektorraums)?

Indem du prüfst, ob jeder Vektor des Raumes sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Ibn Batuta

20.11.2010, 14:28

pivotvariable

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Eine endliche Familie \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\dots, \mathbf{v}_n von Vektoren aus V heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \mathbf{v}_1 + a_2 \cdot \mathbf{v}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \end{eqnarray*}$

mit Koeffizienten a_1, a_2,\dots,a_n aus dem Grundkörper K diejenige ist, bei der alle Koeffizienten ai gleich Null sind. Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich Null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Linearkombination ( die ich oben mit alpha und beta....) geschrieben habe darf nur für die triviale Kombination den Nullvektor ergeben.

Ja aber wie prüfe ich auf eine Basis?

20.11.2010, 14:39

pivotvariable

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also ich kann das ganze natürlich auch über einzelne Gleichungen untersuchen:
1.Gleichung: alpha + lambda = 0
2.Gleichung: beta + gamma = 0
3. Gleichung ist ebenso wie die n folgenden: gamma+lambda=0
das heißt das zwei Parameter immer abhängig sind: Ist das ganze somit auch abhängig?

20.11.2010, 15:03

pivotvariable

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20.11.2010, 15:05

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von pivotvariable
Hilfe

Mach doch bitte keinen Stress. So wird dir sicher nicht geholfen.

20.11.2010, 16:59

captainjack

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Ha.....was für ein Zufall....gleiche Aufgabe....komme damit auch nicht weiter aber bin auch der Meinung dass die so nicht unabhängig sond. Nur wie schreibt man das auf?

24.11.2010, 11:23

_-Alex-_

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Kann man schreiben:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot a_1 + \lambda_2 \cdot a_2 + \lambda_3 \cdot b_1 + \lambda_4 \cdot b_4 = (\lambda_1 + \lambda_4, \lambda_2 + \lambda_3, \lambda_3 + \lambda_4, \lambda_3 + \lambda_4, ...) = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt ja, dass:
$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = - \lambda_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \lambda_4 \end{eqnarray*}$
Also sind die 4 Folgen linear abhängig.

Als Basis hätte ich mir jetzt zunächst das überlegt:
$\begin{eqnarray*} e_1 = (1,0,0,0,0,0...); e_2=(0,1,0,0,0,....) \end{eqnarray*}$
Also jeweils folgen $\begin{eqnarray*} e_i+ \end{eqnarray*}$ die nur an der i. Stelle eine 1 und sonst eine 0 haben. Aber die spannen ja viel mehr auf, darum weiß ich nicht ob ich das so nehmen kann.

MfG

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