Kongruenzen Restetabelle

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Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzen Restetabelle
Meine Frage:
hallo,

ich verstehe nicht, wie man eine sogenannte restetabelle aufstellt.
ich habe hier eine beispiel aufgabe, das ich nicht ganz verstehe.

Für welche ganzzahligen n ist (4n^2)+1 durch 5 teilbar?

logischer weise gibt es ja wegen modulo 5, 5 restklassen.
also die restklassen 0, 1, 2, 3, und 4.
die erste zeile ist ja noch veständlich,
aber ich vertehe nicht wie man auf die anderen zeilen kommt!!!

n 0 1 2 3 4 (mod 5)
n^2 0 1 4 4 1 (mod 5)
4n^2 0 4 1 1 4 (mod 5)
(4n^2)+1 1 0 2 2 0 (mod 5)




Meine Ideen:
oben steht schon alles
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kongruenzen Restetabelle
bei der zweiten zeile wird das dann quadriert:









Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kongruenzen Restetabelle
so einfach ist das? vielen vielen dank!!!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kongruenzen Restetabelle
Zitat:
Original von Felix1234
so einfach ist das? vielen vielen dank!!!!


jap, so einfach ist das, in der dritten zeile wird dann einfach mit 4 durchmultipliziert usw.
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kongruenzen Restetabelle
leider ist mir noch etwas unklar.
die lösung der aufgabe geht so weiter:

Durch 5 teilbar ist also genau dann, wenn kommt!!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kongruenzen Restetabelle
Zitat:
Original von Felix1234
leider ist mir noch etwas unklar.
die lösung der aufgabe geht so weiter:

Durch 5 teilbar ist also genau dann, wenn

ist. Das sind die Zahlen n= 5k-2 und n=5k+2.

Ich verstehe nicht wie man auf kommt!!!


hab das latex mal korrigiert...

das stimmt auch so nicht, wie sich leicht nachprüfen lässt, setze für k=1 ein, dann ist n=5*1-2=3, also ist und

betrachte mal deine letzte zeile:










.

also ist durch 5 teilbar, wenn oder

die richtigen lösungen wären also
 
 
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

aber wie kommst du auf ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kongruenzen Restetabelle
Zitat:
Original von lgrizu


also ist durch 5 teilbar, wenn oder

die richtigen lösungen wären also
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

es könnte ja auch 4 sein
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

es ist aber, also 4 und -1 liegen in der gleichen restklasse von 5, man könnte als repräsentanten der resklasse auch 9 nehmen oder -6 oder was weiß ich, wir haben hier halt -1 als repräsentanten der resklasse gewählt Augenzwinkern
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

dann müsste es ja 3 lösungen geben:
also
n=5k-1
n=5k+1
n=5k+4

aber die letzte geht ja nicht. sieht man, wenn man k=1 einsetzt.
also gibt es nur die ersten beiden lösungen!?
felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das hab ich vertanden
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

wieso kannst du nicht n=5k+4 nehmen?

wieso passt das für k=1 nicht?

5+4=9, es ist 4*9²+1=325 und es ist fernerhin

du erwischst mit 5k+4 nur genau die gleichen zahlen, wie mit 5k-1, die 325 erwischst du für k=2, denn es ist:

5*2-1=9 und 4*9²+1=325....

noch fragen?
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

leider verstehe ich noch eine aufgabe nicht. die aufgabe lautet:

Beweise, dass durch 42 teilbar ist!

Das wäre ja der Fall, wenn das Ganze durch 6 und 7 teilbar ist.

Man zerlegt in Faktoren.

Also:


Angeblich soll man daraus sofort erkennen, dass durch 2 und durch 3 teilbar ist. Also auch durch 6.
Meine Frage ist jetzt, wie erkennt man denn das durch 2 und 3 teilbar ist???

Dann muss man sich den Fall ja noch für 7 angucken. Die 7 lässt sich nicht in Faktoren zerlegen.

Also muss man wieder eine Restetabelle bezüglich der Division durch 7 aufstellen:

n 0 1 2 3 4 5 6
n-1 6 0 1 2 3 4 5
n+1 1 2 3 4 5 6 0
(n^2)-n+1 1 1 3 0 6 0 3
(n^2)+n+1 1 3 0 6 0 3 1

Man soll angeblich sehen, dass es immer einen Faktor gibt, der durch 7 teilbar ist, egal welchen Rest n lässt!?????
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1234


Also:


Angeblich soll man daraus sofort erkennen, dass durch 2 und durch 3 teilbar ist. Also auch durch 6.
Meine Frage ist jetzt, wie erkennt man denn das durch 2 und 3 teilbar ist???


kann man auch, betrachte einmal:



teilbarkeit durch drei:

fall1:

, dann gilt sicherlich .

fall 2:

, dann gilt sicherlich auch

fall 3:

, und dann gilt auch

teilbarkeit durch 2 ist noch einfacher zu zeigen, betrachte die beiden fälle a gerade und a ungerade....

edit: teilbarkeit durch 7 machen wir dann danach Augenzwinkern
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dass habe ich jetzt verstanden, aber warum brauch man so ne olle restetabelle um zu zeigen, dass das ganze durch 7 teilbar ist?
wie wird das aus der restetabelle ersichtlich?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

stell doch mal eine restetabelle für auf.
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

das habe ich doch schon in meinem vorletzten eintrag!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1234
das habe ich doch schon in meinem vorletzten eintrag!


nein, dort hats du eine restetabelle augestellt für , nicht für ...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

achso, vergessen:

man kann da auch folgendermaße drangehen:

wir haben die zerlegung:



betrachten wir die fälle:













Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

hier die restetabelle:

n 0 1 2 3 4 5
(n^7)- n 0 0 0 0 0 0
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

du hast n=6 vergessen...
aber du siehst, egal wie du n wählst, es bleibt bei division von mit 7 immer der rest 0....

du kannst dir aber auch noch mal meinen letzten post durchlesen.....

und:

mit dem kleinen fermat:

für p primzahl ist das schon vorher klar gewesen Augenzwinkern
Felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja logisch, weil da halt "kein rest" rauskommt ist das also durch 7 teilbar.

noch mal vielen dank für deine hilfe!!!!
felix1234 Auf diesen Beitrag antworten »

hast du vielleicht noch einen tipp, was ich machen kann, damit mir der umgang mit kongruenzen leichter fällt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von felix1234
hast du vielleicht noch einen tipp, was ich machen kann, damit mir der umgang mit kongruenzen leichter fällt?


üben, nen besseren tip kann ich dir leider nicht geben, nen prof von mir hat mal gesagt, man muss so lange üben, bis es zu einer intuition wird
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