Konvergenz einer rekurisiven Folge mit Wurzel |
20.11.2010, 14:33 | EpsilonKleinerNull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenz einer rekurisiven Folge mit Wurzel ich habe gerade ein Problem bei der folgenden Aufgabe: Ich soll den Grenzwert der Folge mit und bestimmen. Meine Vermutung ist die folgende: Es handelt sich um eine monoton steigende Funktion, die dazu noch beschränkt ist. Deshalb konvergiert sie gegen ihr Supremum. Allerdings habe ich keine Idee, wie ich dieses Supremum nun bestimmen soll. Es müsste irgendwo um 1,62 herum liegen, aber ich bin nicht in der Lage, einen Kandidaten für das Supremum zu ermitteln. Könnt ihr mir sagen, wie ich an so einen Kandidaten kommen kann? Andererseits steht in der Aufgabe, dass verwendet werden darf, dass verwendet werden darf. Ich weiß nur leider gar nicht, wie mir diese Information für mein Vorgehen weiterhelfen kann. Hat da jemand einen kleinen Tipp? Viele Grüße |
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20.11.2010, 15:39 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Folge gegen die Zahl konvergiert, dann gilt und natürlich auch . Also: |
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20.11.2010, 15:56 | EpsilonKleinerNull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wobei keine Lösung ist, denn die ist durch das Quadrieren da reingerutscht. Dann muss ich ja nur noch beweisen, dass das nun wirklich mein Supremum ist. Vielen lieben Dank |
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20.11.2010, 16:37 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst zeigen, dass die Folge überhaupt konvergent ist. Falls sie nämlich konvergent ist, dann hast du nun schon ausgerechnet, dass eines der beiden Zahlen der Grenzwert sein muss. Konvergenz kann man hier zeigen indem man begründet, dass einerseits die Folge nur positive Folgenglieder hat [also ist Null eine untere Schranke], dass sie nach oben beschränkt ist und dass sie monoton ist. |
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20.11.2010, 17:38 | EpsilonKleinerNull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Monotonie habe ich durch vollständige Induktion bewiesen, nämlich: Bei der Beschränktheit nach oben muss ich nun nur zeigen: Bei rekursiven Funktionen (bzw. hier Folgen) habe ich so etwas noch nie gemacht, deshalb wäre mein Ansatz erst mal der Einfachheit halber zu wählen. Ich habe es mal mit vollständiger Induktion versucht: Reicht das so als Beweis oder muss da noch mehr rein? Und wenn das reicht, dann muss ich ja noch beweisen, dass mein vorher berechneter Term wirklich das Supremum ist. Also muss ich noch zusätzlich die Gültigkeit von zeigen. Aber wie ich das jetzt machen soll, weiß ich wirklich nicht, denn ich kann ja nicht einfach die Ungleichung nach umformen. Kann mir nochmal jemand dabei helfen? Viele Grüße |
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20.11.2010, 17:59 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was willst du denn bitte mit deinem Supremum? Hier gibts kein Supremum zu betrachten. Du hast gezeigt: (i) ist beschränkt (ii) ist monoton steigend Daraus folgt [wahrscheinlich auch ein Satz in der Vorlesung], dass die Folge konvergent ist. Nun weisst du, dass es einen Grenzwert geben muss. Mit dem was du ganz am Anfang gemacht hast folgt, dass dieser Grenzwert entweder oder sein muss. Da die Folge durch Null nach unten beschränkt ist, muss es also sein. Der Beweis der Monotonie ist nicht OK. Als Induktionshypothese weisst du, dass gilt. Nun musst du zeigen. Alles andere ist gut. |
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20.11.2010, 18:15 | EpsilonKleinerNull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Satz lautet bei uns so wörtlich so: "Jede monotone, beschränkte Zahlenfolge in IR ist konvergent." Im Beweis kamen wir dann zu folgendem: Es gilt mit . Aus dem Beweis ist aber ersichtlich, dass es sich dabei um monoton wachsende Folgen handelt; bei fallenden ist es entsprechend das Infimum. Deshalb wollte ich das Supremum beweisen. Ich weiß ja auch, dass der anfangs berechnete Term das Supremum sein muss, aber irgendwie fehlt da noch der Beweis (oder ich sehe ihn einfach nicht).
Das verstehe ich leider nicht. Müssten das nicht heißen? |
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20.11.2010, 19:21 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So wurde der Satz bewiesen, aber wenn du schon den Satz bewiesen hast, in diesem Fall in der Vorlesung, dann darfst du ihn einfach anwenden. Sprich zeigst du bei einer Folge die Beschränktheit und die Monotonie, dann weisst du schon aufgrund des Satzes, dass es konvergiert. Was den Grenzwert angeht habe ich dir gezeigt wie du ihn bestimmen kannst - und hast es schon getan - und das zu tun ist OK, wenn man die Konvergenz gezeigt hat.
Sorry, du hast Recht. Nun ist der Induktionsschritt einfach: . Wichtig ist, dass aus der Induktionsvoraussetzung nur folgt und so wie ich das sehe hattest du bei dir die Behauptung genutzt um ebendiese zu zeigen. |
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20.11.2010, 19:33 | EpsilonKleinerNull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hatte als Induktionsvoraussetzung genutzt und wollte anschließend zeigen, dass auch gilt. Ich wusste nicht, dass es einen Unterschied macht, ob ich zuerst und vergleiche und dann den Schritt von zu mache oder es für die Indizes und beweise und anschließend im Schritt die Gültigkeit für und zeige. Aber wenn das ein Unterschied ist, mache ich es natürlich so, wie du es gesagt hast. Vielen Dank für deine Hilfe, ich glaube, dass ich die Aufgabe jetzt verstanden habe |
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20.11.2010, 19:39 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es macht keinen Unterschied, aber du musst genauer sein in dem was nun genau die Voraussetzung ist und was nicht. Zb. so: Angenommen die Behauptung ist richtig bis zur Zahl , das heisst es gilt für alle . Dann gilt: wobei in der Ungleichheit die Voraussetzung für genutzt wurde. |
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23.11.2010, 13:14 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich bin bei der selben aufgabe. Geht es dann wirklich so einfach weiter?: die Letzte Zeile ist ja laut Induktionsvorraussetzung wahr und somit ist der Beweis für die monotone Steigung fertig. |
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23.11.2010, 13:42 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, sowas geht nicht. Falls eine Aussage falsch ist, dann kann man daraus alles mögliche folgern, zb auch eine wahre. Den Beweis via Induktion habe ich meinem letzten Beitrag ausführlich hingeschrieben. |
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