Körper und Teilmengen |
20.11.2010, 14:54 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Körper und Teilmengen Hej, ich hänge grad bei dieser Aufgabe: Zeigen Sie, dass K:={a+b*Wurzel5 a,b Element Q} bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und dass jK eine echte Teilmenge von R ist. Meine Ideen: Also ich weiß, dass ich jetzt die Körperaxiome nachweisen muss, aber ich weiß nicht wie ich zeige, dass es abelsch ist. Wäre super wenn ihr mir helfen könntet |
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20.11.2010, 15:04 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sei mit mit und sei mit mit . Dann gilt: Da wir wissen, daß ein Körper ist, dürfen wir folgende Umformung vornehmen (in den Klammern): Damit ist bezüglich abelsch. Ibn Batuta |
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20.11.2010, 16:47 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok vielen Dank. Das gleiche muss ich jetzt auch noch mit * machen oder? Wenn ich dann noch zeige, dass es ein Inverses gibt und ein Neutrales Element, ist die Aufgabe dann erledigt und reicht das als Beweis? |
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20.11.2010, 16:53 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Du mußt noch zeigen, daß eine abelsche Gruppe ist. Hier mußt du erneut die Gruppenaxiome prüfen und zeigen, daß diese Gruppe abelsch ist.
Einfach stur die Gruppenaxiome prüfen und zeigen, daß die beiden Gruppen abelsch sind. Zusätzlich mußt du noch die Distributivität zeigen. Dann bist du fertig. Ibn Batuta |
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20.11.2010, 17:18 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist die Distributivität nicht schon beweisen wenn ich sage, dass a,b Element Q und und Somit die Distributivgesetze gelten? Wenn nicht, wie zeige ich dass dann? |
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20.11.2010, 17:37 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ich sagen: Es gibt 2 neutrale Element nämlich 1 und 0 da gilt. 1+0Wurzel5= 1 und 0+0wurzel5 =0 |
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20.11.2010, 17:41 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Hier geht es ja nicht um den Körper , sondern um .
Ganz ähnlich meinem Beispiel von vorhin. Sei mit mit , mit mit und mit mit . Zu zeigen ist nun: (i) (ii) Ibn Batuta |
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20.11.2010, 17:44 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt nicht. Jede Gruppe besitzt nur ein neutrales Element. Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes mußt du aber nicht extra zeigen. Es langt, wenn du zeigst, daß es in der Gruppe, die du betrachtest, ein neutrales Element existiert.
Vom Ansatz her stimmt es. Nun mußt du es noch formal-stilistisch korrekt hinschreiben und begründen, warum diese Elemente in ihren Gruppen die neutralen Elemente darstellen. Dabei mußt du aufpassen, welche (Gruppe) du betrachtest! Ibn Batuta |
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20.11.2010, 18:16 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also das mit den Distributivgesetzen hab ich jetzt glaub verstanden. Vielen Dank so langsam steig ich da durch. Aber nochmal wegen dem neutralem Elemnt. Wie schreib ich sowas formal-stilistisch richtig auf? ich hab das noch nie gemacht und weiß auch nciht wo ich noch nachschauen soll. |
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20.11.2010, 18:24 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kein Thema. Wenn du fragen hast, nur zu.
Ich mache es dir mal bezüglich der abelschen Gruppe vor. Also sei mit mit und mit mit Sei das neutrale Element ist, dann muß gelten: Also gilt: Linke Seite zusammengefasst: Nun sieht man leicht, daß sein muß, damit der linke Ausdruck der rechten Seite entspricht. Ergo ist , also ist . Verstanden soweit? Ibn Batuta |
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21.11.2010, 13:44 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super, das ist echt toll das einem hier so gut gehoolfen wird ich versteh nämlich jetzt was ich machen soll. Für das Inverse zeig ich dann: z+z^-1=0 für (k,+) und z*z^-1 = 1 für (k {0},*) oder? dann hab ich ja (a+bwurzel5)+(a+bwurzel5)^-1= 0 nach was löse ich diese gleichung dann auf? muss ich wieder schauen was a und b sien müssen? ich komm dann auf am schluss auf a*(a+bwurzel5)+bwurzel5(a+bwurzel5)+1=0 de lsöung wär dann ja a+b+1=0 also a+b=-1 aber das stimmt doch dann nciht oder? Wo hab ich da einen fehler gemeacht? |
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21.11.2010, 14:06 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ganz genau.
So funktioniert das leider nicht. Du darfst das "hoch -1" nicht verwechseln. Hoch -1 bedeutet hier, daß es das inverse Element ist! Ich zeige dir es für . Für kannst du es ja dann alleine lösen. Das funktioniert analog. Sei mit mit und mit mit und es gelte: Also: => Umformen: bzw. ist die Addition in laut deiner Angabe von . Dann wissen wir ja aus den Körpereigenschaften von , daß , da und , da ist. Also haben wir ein Inverses zu gefunden. Ibn Batuta |
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21.11.2010, 15:44 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah ok, jetzt weiß ich auch warum es falsch war. Aber bei (K\{0},*,1) häng ich jetzt wieder Also ich mach: (a+bwurzel5)*(x+ywurzel5)=1 und form es um nach: x*(a+bwurzel5)+ ywurzel5*(a+bwurzel5)=1 wie mach ich das jetzt? |
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21.11.2010, 16:11 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es geht fast genauso, wie ich es dir vorhin gezeigt habe. Mach doch mal Schritt für Schritt durch und poste es hierher (gerne auch unter Verwendung von LaTeX, sonst ist es immer so schwer zu lesen...). Ibn Batuta |
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21.11.2010, 16:30 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also soweit habe ich jetzt, aber ich weiß nicht wie ich weiter machen muss bei + habe ich es verstanden aber hier steh ich grad auf der leitung |
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21.11.2010, 16:37 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo kommt denn das x her? Ibn Batuta |
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21.11.2010, 19:21 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab mich vertippt, das z muss eigentlich ein x sein |
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21.11.2010, 19:35 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
. Daraus würde folgen w=z^-1, also daß ist. Nun muß man noch zeigen, daß das auch wirklich gilt. Ibn Batuta |
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21.11.2010, 20:22 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[latex]Kann ich dass dann so aufschreiben: Bei (k\{0},*,1) gilt: z*w=1 => w=\frac{1}{z} => w=z^-1 => z*z^-1=1 Beweis: (a+b\sqrt{5})*(a+b\sqrt{5})^-1=1 Dann kürzen und smit stimmt es Ist das richtig? |
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22.11.2010, 18:39 | Fartah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
22.11.2010, 18:55 | Lin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hej vielen Dank für deine Hilfe Ibn Batuta. Du hast mir sehr geholfen. |
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22.11.2010, 19:01 | Fartah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey Lin hast du denn jetzt die Lösung. Ich komme bei dem Inversen bzgl Multipl. nicht weiter das ist eine lange gleichung, die mir nix sagt... |
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22.11.2010, 20:13 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lange Gleichung? Schau mal hier: Menge K ist ein Körper Das sollte auch dir weiterhelfen. Ibn Batuta |
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