vollständige Induktion + das große Pi?

20.11.2010, 15:13

bandchef

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vollständige Induktion + das große Pi?

Hi Leute!

Ich soll für folgende Aufgabe zeigen, dass die vollständige Induktion nach n für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. Außerdem sei $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_i \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir erklären wie ich da vorgehe? Ich verstehe, die Aufgabe jetzt so, dass ich zeigen soll, dass das Produkt auf der linken Seite der Aufgabe größer oder wenigstens gleich der Summe auf der rechten Seite ist. Stimmt das soweit?

Wie gehe ich nun aber weiter vor? Soll ich seitenweise die vollständige Induktion durchführen und das Ergebnis dann miteinander vergleichen?

Könnt ihr mir helfen?

20.11.2010, 16:01

bandchef

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Die rechte Seite der Aufgabe hab ich nun schon durch vollständige Induktion beweisen können. Es sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} 1-\sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i = 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i + n+1 = 1-\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=...=1-\frac{(n+1)(n+2)}{2} \text{q.e.d} \end{eqnarray*}$

Was aber muss ich nun aber auf der linken Seite der Aufgabe schreiben?

Ich hab ja das hier schonmal stehen: $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) = \prod_{i=1}^{n} (1-a_i) \cdot n = ... \end{eqnarray*}$

Damit ich aber nun mit dem Induktionsanfang der vollständigen Induktion beginnen kann, brauch ich dazu ja jetzt eine rechte Seite. Ich weiß aber nicht wie ich diese rechte Seite mir aus den Fingern saugen kann. Bei der reinen Summe war ja die rechte Seite bei der IA klar...

20.11.2010, 16:43

Evelyn89

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Ich verstehe nicht was du da gemacht hast.
Du kannst doch nicht die rechte Seite und die linke Seite alleine zeigen?
Was willst du denn damit überhaupt zeigen?

Du sollst doch beweisen, dass die linke seite immer größer (oder gleich) der rechten Seite ist.

Zeige , dass die Behauptung für n=1 richtig ist.
Nehme dann an, dass sie für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ stimmt und zeige , dass sie dann auch für n+1 stimmt. Das ist das was du machen musst, also vollst. Induktion.

20.11.2010, 16:58

bandchef

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Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1-1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{LS}=1-1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{LS} \geq \text{RS} \end{eqnarray*}$

Soweit ok?

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) \geq \underbrace{1- \sum\limits_{i=1}^n (n+1)}_{=\text{IV}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jezt so?

20.11.2010, 17:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1-1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{LS}=1-1 = 0 \end{eqnarray*}$

Unfug. Setze doch mal ordentlich n=1 in die Behauptung ein.

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) \geq \underbrace{1- \sum\limits_{i=1}^n (n+1)}_{=\text{IV}} \end{eqnarray*}$

Erstens ist das, was du mit IV markiert hast, nicht die IV (die IV ist das, was links vom Pfeil steht), und zweitens hast du nicht mal ordentlich alle n in der Behauptung durch n+1 ersetzt.

20.11.2010, 17:32

bandchef

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Was ist denn meine Behauptung?

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20.11.2010, 17:35

klarsoweit

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RE: vollständige Induktion + das große Pi?

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$

Obiges. Ich hoffe, daß das jetzt klar ist.

20.11.2010, 17:37

bandchef

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Ich hab hier jetzt alle n durch n+1 ersetzt:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i \end{eqnarray*}$

Und wie gehts jetzt weiter?

20.11.2010, 17:39

bandchef

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Ich bekomme dann jetzt das als Indunktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^{n+1} (n+1) \end{eqnarray*}$

stimmt das?

20.11.2010, 17:43

bandchef

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Als Induktionsanfang bekomm ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-1) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1-\sum\limits_{i=1}^1 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{LS} \geq \text{RS} \end{eqnarray*}$

Stimmts etz?

Ich bekomme dann jetzt das als Indunktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^{n+1} (n+1) \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 17:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Als Induktionsanfang bekomm ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-1) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1-\sum\limits_{i=1}^1 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{LS} \geq \text{RS} \end{eqnarray*}$

Stimmts etz?

Nein. Wie kommt es in dem Produkt zu (1-1) und in der Summe zu dem Summanden 1?

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} (n+1) \end{eqnarray*}$

Und wie kommt es zu dieser Summe?

20.11.2010, 17:47

bandchef

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Sorry, da hab ich mich wohl durch das verflixte copy & paste verschrieben. So soll es lauten:

Als Induktionsanfang bekomm ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1\cdot 1) =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1-\sum\limits_{i=1}^1 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{LS} \geq \text{RS} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme dann jetzt das als Indunktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 17:50

bandchef

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Zitat:

... und in der Summe zu dem Summanden 1?

Wenn ich über $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ von i=1 bis 1 aufsummiere, dann bekomm ich doch 1, oder?

20.11.2010, 17:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Als Induktionsanfang bekomm ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1\cdot 1) =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1-\sum\limits_{i=1}^1 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist auch nicht besser. Ersetze mal in $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ das n durch 1.

Zitat:

Original von bandchef
Wenn ich über $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ von i=1 bis 1 aufsummiere, dann bekomm ich doch 1, oder?

Nein, wieso? Wie lautet denn der einzige Summand?

20.11.2010, 17:56

bandchef

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So, langsam nochmal ganz von vorne:

Du schreibst:

Zitat:

Das ist auch nicht besser. Ersetze mal in $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ das n durch 1.

Das mach ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^1 (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^1 a_i \end{eqnarray*}$

Wie geht es hier nun weiter?

20.11.2010, 17:57

bandchef

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Ich denke, dass es für die linke Seite so weiter geht:

$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-1 \cdot 1) = 0 \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 18:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Das mach ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^1 (1-a_i) \geq 1- \sum\limits_{i=1}^1 a_i \end{eqnarray*}$

So. Jetzt überlege dir, wie der erste Faktor bzw. der erste Summand (das ist der für i=1) aussieht.

Tipp: du mußt einfach nur da, wo ein i steht, eine 1 schreiben.

20.11.2010, 18:14

bandchef

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Ich verstehe deinen Tipp nicht so ganz:

Zitat:

Tipp: du mußt einfach nur da, wo ein i steht, eine 1 schreiben.

Beim Faktor bzw. Summand steht jeweils nur an einer Stelle ein i nämlich als Index beim a, also: $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ . Ich kann ja jetzt nicht einfach in den Index vom a eine 1 hinschreiben, oder? Ich denke es könnte so sein wie ich es unten jetzt zeige. Sicher bin ich mir nicht...

Der erste Faktor sieht so aus denke ich: $\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-1) = 0 \end{eqnarray*}$

Der erste Summand sieht so aus denke ich: $\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 1=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so?

20.11.2010, 18:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Ich kann ja jetzt nicht einfach in den Index vom a eine 1 hinschreiben, oder?

Das kannst du nicht nur, das mußt du sogar.

EDIT: so, ich muß jetzt Feierabend machen.

20.11.2010, 18:22

bandchef

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Hm, ok. Das hätt ich jetzt nie gemacht, wenn es mir nicht jemand gesagt hätte... Also hier dann so wie es anscheinend korrekt ist:

Der erste Faktor sieht so aus denke ich: $\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-a_1) = 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$

Der erste Summand sieht so aus denke ich: $\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 a_1=1-1=0 \end{eqnarray*}$

Wie gehts etz weiter?

20.11.2010, 18:30

Kawarider90

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ich helf dir mal ein bisschen

zensiert von klarsoweit.
Ich sehe nicht ein, daß jemand eine (zum Teil sogar falsche) Komplettlösung liefert, nachdem ich mich intensiv darum bemüht habe, bandchef beizubringen, daß er erstmal formale Mathematik lernen muß.

20.11.2010, 23:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Der erste Faktor sieht so aus denke ich: $\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-a_1) = 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$

Der erste Summand sieht so aus denke ich: $\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 a_1=1-1=0 \end{eqnarray*}$

Warum machst du permanent und immer wieder aus dem a_1 eine 1? verwirrt

verwirrt

21.11.2010, 13:00

bandchef

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Ich hab mich nochmal eingehende damit beschäftigt. Die zensierte Komplettlösung hab ich übrigens nicht gesehen. Also bin ich nicht davon beeinflusst. Keine Angst :-)

Ich denke du meinst das jetzt so:

(IA)
$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-a_1) = 1-a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 a_1=1-a_1 \end{eqnarray*}$

Die IA dürfte jetzt stimmen, oder?

(IS)
aus n wird ja jetzt n+1:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) = \prod_{i=1}^{n} (1-a_i) \cdot (1-a_{n+1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-\sum_{i=1}^{n+1} a_{i}= 1-\sum_{i=1}^{n}a_i+a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt soweit?

21.11.2010, 13:08

Duedi

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Das stimmt jetzt soweit. Jetzt also zum Vorgehen im Induktionsschluss. Am Besten, du fängst mit der linken Seite an und formst das ganze (unter Einsetzung der Induktionsvoraussetzung) so um, dass die rechte Seite rauskommt, also etwa so:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (1- a_i)= \cdots \stackrel{\text{IV}}{\geq}\cdots = 1-\sum_{i=1}^{n+1} a_i \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 13:27

bandchef

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Sorry, aber ich weiß jetzt hier nicht mehr was hier meine IV bildet. Kannst du's mir sagen?

Ich denke, aber, dass die IV $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Außerdem verstehe ich nicht, wo ich die IV (falls sie das oben ist) einsetzen soll.

21.11.2010, 18:32

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das ist die Induktionsvoraussetzung. Naja, versuche einfach mal, so rumzurechnen, dass du sie einsetzen kannst. Das geht nur mit Ausprobieren, sehen kann man das jetzt noch nicht (außer man hat viel Erfahrung).

21.11.2010, 19:19

bandchef

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Sieht das dann vielleicht so aus:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) = \prod_{i=1}^{n} (1-a_i) \cdot (1-a_{n+1}) \geq 1-\sum_{i=1}^{n+1} a_{i}= 1-\sum_{i=1}^{n}a_i+a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir vielleicht noch weiter helfen?

21.11.2010, 19:38

klarsoweit

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Erstmal müßte es so heißen:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) = \prod_{i=1}^{n} (1-a_i) \cdot (1-a_{n+1}) \geq 1 - \left(\sum_{i=1}^{n}a_i + a_{n+1} \right) = 1 - \sum_{i=1}^{n+1} a_{i} \end{eqnarray*}$

Allerdings wird nicht klar, warum $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n} (1-a_i) \cdot (1-a_{n+1}) \geq 1 - \left(\sum_{i=1}^{n}a_i + a_{n+1} \right) \end{eqnarray*}$ sein sollte.

Da mußt du also noch etwas rechnen und auch die IV zum Einsatz bringen.

24.11.2010, 18:20

bandchef

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Dürfte ich auch so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) = \prod_{i=1}^{n} (1-a_i) \cdot (1-a_{n+1}) \geq 1 - \sum_{i=1}^{n+1} a_{i} = 1 - \left(\sum_{i=1}^{n}a_i + a_{n+1} \right) \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 18:30

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetzt das auf meinem Papier stehen:

(IA)
$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-a_i) = 1-a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 a_i=1-a_1 \end{eqnarray*}$

(IS)
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\prod_{i=1}^{n} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i}_{=\text{IV}}\Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Ab jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. Bei einer normalen Induktion folgt ja jetzt eigentlich die linke Seite bis n+1 ist gleich der linken seite bis n + den letzten Summanden ist gleich dem TERM der rechten seite von der "Ausgangsaufgabe" + den letzten Summanden.

Wie aber geht das dann hier? Ich hab ja auf der rechten Seite keinen TERM sondern ein Produkt...

24.11.2010, 18:39

Kawarider90

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der Summationsterm der bei dir $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{n+1} \end{eqnarray*}$ heißt, falsch.
bedenke, welche obere Grenze hat die Summe wenn $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert wird

24.11.2010, 18:42

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also es müsste so heißen:

(IA)
$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-a_i) = 1-a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 a_i=1-a_1 \end{eqnarray*}$

(IS)
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\prod_{i=1}^{n} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i}_{=\text{IV}}\Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n+1} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 18:49

Kawarider90

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die Summationsvariable ist nicht richtig

24.11.2010, 18:52

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber was ist die Summationsvariable?

24.11.2010, 18:54

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

variable die man aufsummiert, sprich der Ausdruck der gleich nach dem Summenzeichen steht

24.11.2010, 18:56

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also es müsste so heißen:

(IA)
$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-a_i) = 1-a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 a_i=1-a_1 \end{eqnarray*}$

(IS)
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\prod_{i=1}^{n} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i}_{=\text{IV}}\Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i+a_{n+1} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 19:03

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

nein du hattest es ja richtig du hast nur falsch aufsummiert
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\prod_{i=1}^{n} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i}_{=\text{IV}}\Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1- a_i) \geq1-(\sum_{i=1}^{n} a_i+a_{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} a_i+a_{n+1} \end{eqnarray*}$
diese Summe zusammengezählt ergibt... ?

24.11.2010, 19:29

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also es müsste so heißen:

(IA)
$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\prod_{i=1}^1 (1-a_i) = 1-a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{RS} = 1-\sum_{i=1}^1 a_i=1-a_1 \end{eqnarray*}$

(IS)
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\prod_{i=1}^{n} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i}_{=\text{IV}}\Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1- a_i) \geq1-(\sum_{i=1}^{n} a_i+a_{n+1}) \end{eqnarray*}$

Stimmt hier jetzt meine IA und IS?

In welchem Beitrag von mir hatte ich es richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} a_i+a_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1} a_i \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 19:33

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt stimmt,
mit der Aussage "vorhin hattest dus richtig", wollte ich diesen Fehler ansprechen

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\prod_{i=1}^{n} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i}_{=\text{IV}}\Rightarrow \prod_{i=1}^{n+1} (1- a_i) \geq1-\sum_{i=1}^{n} a_i+a_{n+1} \end{eqnarray*}$

hier hast du die Klammer vergessen, die du voher richtig gesetzt hast

24.11.2010, 19:39

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber deine grammatik oder den sinn deiner letzten sätze in deiner letzten antwort verstehe ich nicht. Stimmt das da jetzt eigentlich: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} a_i+a_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1} a_i \end{eqnarray*}$

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