Körper, Charakteristik

20.11.2010, 15:52

Gosslot

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Körper, Charakteristik

Meine Frage:
Sei K ein Körper, zeigen Sie:

Ist die Charakteristik von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine Primzahl p, so gibt es einen eindeutig bestimmten Körperhomomorphismus von $\begin{eqnarray*} Z_p \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß, was ein Körperhomomorphismus ist, aber ich habe keine Ahnung, wie ich zeigen soll, dass das gilt.
Kann man vllt ganz einfach sagen, dass K = Z?

20.11.2010, 17:27

kiste

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Z ist doch gar kein Körper. Welche Elemente hat denn Z_p? Welche Elemente gibt es in einem Körper immer?

20.11.2010, 17:39

grunz

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In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{p} \end{eqnarray*}$ sind alle ganzen Zahlen von 1 bis p enthalten, oder? Da in jedem Körper aber das neutrale Element der Addition bzw. der Multiplikation, d.h. 0 bzw. 1 enthalten sein müssen, wäre K kein Körper, da er die 0 nicht enthält. Richtig?

20.11.2010, 17:41

kiste

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K ist doch ein beliebiger Körper, also hat er auch eine 0.

Z_p hat auch eine 0, denn dort ist p=0.

So jetzt ist Z_p ein Körper und K ein Körper. Was muss für Körperhomomorphismen gelten mit der 1?

20.11.2010, 17:48

Gosslot

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Also um das nochmal klarzustellen:

K ist ein beliebiger Körper...er enthält also 0 und 1.

$\begin{eqnarray*} Z_p \end{eqnarray*}$ ist nicht näher beschrieben, aber ich vermute mal, dass es sich dabei um die ganzen Zahlen von 0 bis (p-1) handelt.

Also auch 0 und 1 enthalten.

Aber was für Körperhomomorphismen mit der 1 gelten muss, weiß ich nicht.

20.11.2010, 17:57

kiste

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Für einen Körperhom. $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb Z_p \to K \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \phi(1) = 1 \end{eqnarray*}$ gelten. Du musst nur die Definition nachlesen. Der Rest ergibt sich jetzt daraus.

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20.11.2010, 18:25

Gosslot

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Also wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ habe, da die per Definition sagt:

$\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb Z_p \to K, \phi(1) = 1 \end{eqnarray*}$

Und ein Homomorphismus gleichzeitig sagt:

$\begin{eqnarray*} \phi(x) + \phi(y) = \phi(x+y) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \phi(x) * \phi(y) = \phi(x*y) \end{eqnarray*}$

Dann muss aus meiner Ansicht nach gelten:

$\begin{eqnarray*} \phi(x) = x \end{eqnarray*}$

Ich sehe da keine andere Möglichkeit.
Was bedeuten würde das
$\begin{eqnarray*} Z_p = K_p \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 18:42

kiste

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Das stimmt so halb. Das ist ein Homomorphismus. Dazu musst du aber noch mehr zeigen. Und was soll $\begin{eqnarray*} K_p \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Du zeigst damit nur, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ ein Teilkörper ist

20.11.2010, 18:55

Gosslot

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Zitat:

Original von kiste
Das stimmt so halb. Das ist ein $\begin{eqnarray*} Homomorphismus \end{eqnarray*}$ . Dazu musst du aber noch mehr zeigen. Und was soll $\begin{eqnarray*} K_p \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Du zeigst damit nur, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ ein Teilkörper ist

Was meinst du mit "nur" Homomorphismus? Das ist doch genau das, was ich zeigen will.

Ansonsten muss meines Wissens nur folgendes gelten für einen Körperhomomorphismus:

$\begin{eqnarray*} \phi(1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(x) + \phi(y) = \phi(x+y) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \phi(x) * \phi(y) = \phi(x*y) \end{eqnarray*}$

Mehr was es zu beweisen gilt, finde ich nicht. Was mir allerdings immer noch nicht sagt, wie genau $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aussieht.

EDIT: Achja $\begin{eqnarray*} K_p \end{eqnarray*}$ bedeutet K mit der Charakteristik p.

20.11.2010, 19:05

kiste

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Naja, du musst doch schauen ob die Relationen von Z_p auch in K dann gelten.

$\begin{eqnarray*} \phi(1+\ldots+1) = \phi(1) + \ldots + \phi(1) \end{eqnarray*}$ muss doch gelten, gilt das für alle Summen`? (Insbesondere wenn p mal summiert wird)

Dein phi wird doch durch das Bild der 1 festgelegt, jedes Element von Z_p ist doch eine Summe von Einsen

21.11.2010, 14:26

Gosslot

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Ok, ich glaube ich weiß, worauf du hinaus willst.

Aber wie beweise ich, dass wenn

$\begin{eqnarray*} \phi (1) = 1 \end{eqnarray*}$

Das dann auch gilt

$\begin{eqnarray*} \phi (1) + \phi (1) + \phi (1) + \phi (1) +... \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \phi (1+1+1+...) \end{eqnarray*}$

Wobei halt das ganze p-mal addiert wird?
Oder geh ich gerad in die völlig falsche Richtung?

Ich meine ich weiß ja kaum was über $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Ich kann zwar sagen, dass $\begin{eqnarray*} \phi (1) + \phi (1) + \phi (1) + \phi (1) +... = p \end{eqnarray*}$ da
$\begin{eqnarray*} \phi (1) = 1 \end{eqnarray*}$ , aber um zu zeigen, was $\begin{eqnarray*} = \phi (1+1+1+...) \end{eqnarray*}$
ist, fehlt mir doch noch irgendwas.

21.11.2010, 15:01

kiste

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Was du praktisch machst ist die Bedingung des Homomorphiesatzes zu überprüfen. Du hast eine Gleichung 1+1+...+1 = 0 (p-mal addiert) in Z_p. Gilt diese auch in K via phi?

21.11.2010, 16:14

Gosslot

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In K gilt definitiv 1+1+1+...+1 (p-mal addiert) = 0 (wobei je nach Körper die 1 nicht zwingend die gleiche 1 sein muss, oder??). Das ist ja letztendlich die "Definition" von Charakteristik.

Also kann ich sagen, dass 1+1+1+...+1 (p-mal addiert) = 0 in Z_p und "via phi" in K gilt.

Irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich verstanden habe, was du meinst, mir aber noch die richtige Formulierung fehlt.

Soll ich jetzt angeben, dass da 1+1+1+...+1 (p-mal addiert) = 0 in Z_p und K (via phi) gilt es ein phi das einen Körperhomomorphismus darstellt? Die Frage, die sich mir dann stellt ist, soll ich dann ein "konkretes" phi angeben?

21.11.2010, 18:00

kiste

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Du hast doch ein konkretes phi angegeben.
$\begin{eqnarray*} \phi(1+\ldots + 1) = 1 +\ldots +1 \end{eqnarray*}$ wobei natürlich über genau so viele "..." summiert wurde.

21.11.2010, 19:38

Gosslot

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Welche Abbildung führt dieses konkrete Phi denn dann überhaupt durch.
Auf den ersten Blick ja nur $\begin{eqnarray*} \phi (x) = x \end{eqnarray*}$ . Oder ist das nur auf das Einserelement eingeschränkt?

Auf einen zweiten Blick könnte man sagen, dass Phi, das Einserelement von Z_p auf das Einserelement von K abbildet.

Könnte ich also folgerichtig sagen:

Wenn die Charakteristik von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine Primzahl p ist, so gibt es einen eindeutig bestimmten Körperhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Z_p \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} \phi (x) + \phi (y) = \phi (x+y) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \phi (x) * \phi (y) = \phi (x*y) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \phi (1) = 1 \end{eqnarray*}$

Aber wie beschreibe ich jetzt eigentlich genau, wie die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aussieht?

21.11.2010, 19:41

kiste

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Das Problem ist, dass x in K überhaupt keine Bedeutung hat, also $\begin{eqnarray*} \phi(x) = x \end{eqnarray*}$ so nicht wohldefiniert ist. Informal beschreibt diese Abbildung aber genau das richtige.

Ich habe schon mal geschrieben wie phi konkret definiert wurde. Man kann diese Definition auch daraus folgern, dass Z_p zyklisch ist mit Erzeuger 1 und die 1 bereits auf die 1 gehen muss

21.11.2010, 21:58

Gosslot

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Ich bin mir jetzt zwar nicht sicher, aber wenn ich dich richtig verstehe beziehst du dich wohl auf folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb Z_p \to K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi(1) = 1 \end{eqnarray*}$

Und dazu kommt, dass man daraus dann folgern kann $\begin{eqnarray*} \phi(1+1) = 1+1 \end{eqnarray*}$ etc.
und letztendlich dann $\begin{eqnarray*} \phi(p) = p \end{eqnarray*}$ ?

Und damit hätte ich quasi einen Homomorphismus, oder?

22.11.2010, 10:46

Gosslot

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Bzw. daraus folgt ja eigentlich $\begin{eqnarray*} \phi (0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

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