Eine "schnell" konvergente Folge

20.11.2010, 16:20

hase2

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Eine "schnell" konvergente Folge

Meine Frage:
Hi ich habe eine Aufgabe, wo ich leider nicht weiterkomme...
Gegeben seien $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und q als Element des Intervalls (0,1) und eine Folge mit der Eigenschaft:

| $\begin{eqnarray*} a_{n} - b | \leq q | a_{n-1} - b | \end{eqnarray*}$ für alle n als Element der Natürlichen Zahlen

a) Zeigen Sie: | $\begin{eqnarray*} a_{n} - b | \leq q^n | a_{0} - b | \end{eqnarray*}$
b) Zeigen Sie dass die Folge gegen b konvergiert

Meine Ideen:
zu a)

wäre das ein Ansatz?

| $\begin{eqnarray*} a_{n} - b | \leq q | a_{n-1} - b | \leq q^n | a_{0} - b | \end{eqnarray*}$
dann weiß ich aber nicht weiter ...

ich hoffe ihr könnt mir helfen

20.11.2010, 16:40

system-agent

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Deinen Ansatz hast du nur nicht begründet.
Das wichtige hier ist, dass die angegebene Eigenschaft für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gültig ist. Das heisst also
$\begin{eqnarray*} |a_n-b|\leq q|a_{n-1}-b| \end{eqnarray*}$
da die Eigenschaft zb für die Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt. Aber es ist auch
$\begin{eqnarray*} |a_{n-1}-b|\leq q|a_{n-2}-b| \end{eqnarray*}$ .
Wieso? Und weiter?

20.11.2010, 16:57

hase2

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ja das hatte ich mir ja auch gedacht. reicht dass dann nun für die beantwortung der frage?

und zu b) fällt mir gar nichts ein :/

20.11.2010, 17:22

system-agent

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Es kommt darauf an wie formal es sein soll. Mir würde das reichen, im Zweifelsfalls machst du eben eine Induktion.

Hinweis zur (b):
Es gilt $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} q^n\to ? \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

20.11.2010, 17:34

hase2

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da q kleiner als 1 ist, ist der grenzwert 0 ...

20.11.2010, 17:49

system-agent

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Genau. Und was passiert nun also mit $\begin{eqnarray*} |a_n-b| \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht?

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20.11.2010, 18:03

hase2

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keine ahnung, tut mir leid

20.11.2010, 18:04

system-agent

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$\begin{eqnarray*} |a_n-b|\leq q^n|a_0-b|\to? \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 18:14

hase2

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Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} |a_n-b|\leq q^n|a_0-b|\to? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^n|a_0-b|\to0 \end{eqnarray*}$ ?

somit:

$\begin{eqnarray*} |a_n-b|\leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_n|\leq b \end{eqnarray*}$
?

20.11.2010, 19:11

system-agent

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Zitat:

Original von hase2

Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} |a_n-b|\leq q^n|a_0-b|\to? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^n|a_0-b|\to0 \end{eqnarray*}$ ?

Bis hierhin ist es OK. Und genau das ist schliesslich die Konvergenz.

21.11.2010, 15:54

hase2

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aber ich muss doch beweisen dass die folge gegen b konvergiert, und nicht gegen 0 ... ?

21.11.2010, 16:21

system-agent

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Dann schreib mal hin was du zeigen musst, damit die Folge gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dann überlege dir, wieso das hier zutrifft.

21.11.2010, 16:54

hase2

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vielen dank für deine hilfe smile

smile

aber jetzt kapier ich gar nichts mehr ...

21.11.2010, 18:23

system-agent

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Zitat:

Original von hase2
aber jetzt kapier ich gar nichts mehr ...

Dann musst du nachfragen.

21.11.2010, 18:47

hase2

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Zitat:

Original von system-agent
Dann schreib mal hin was du zeigen musst, damit die Folge gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konvergiert.

was muss ich denn zeigen?

21.11.2010, 20:11

system-agent

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Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt ein ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} |a_n-b|<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Nun begründe wieso man so einen Index $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ finden kann.

22.11.2010, 14:26

hase2

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weil der term mit $\begin{eqnarray*} q^{n} | a_{0} - b | \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, und jedes epsilon eine beliebig kleine zahl sein kann?

22.11.2010, 16:12

system-agent

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Hast du die Definition der Konvergenz denn verstanden?

Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ muss etwas gelten. Also gerade auch für ein beliebig kleines $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ .
Zu so einem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kann man ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden derart, dass
$\begin{eqnarray*} q^n|a_0-b|<\epsilon \end{eqnarray*}$ und das zeigt die Konvergenz.

Nun musst du begründen wieso man dieses $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ finden kann. Hinweis: $\begin{eqnarray*} |a_0-b| \end{eqnarray*}$ ist einfach eine konstante, reelle Zahl.

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