Wert einer Reihe bestimmen.

20.11.2010, 16:40

cHilLz0Ne

Wert einer Reihe bestimmen.

Hallo,
ich habe Aufgaben, bei denen ich Reihen auf Konvergen überprüfen soll und ggf. den grenzwert ausrechnen soll. Leider habe ich Probleme die Grenzwerte zu bestimmen.

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-e)^{n-1}}{\pi ^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Ich habe hier das Quotientenkriterium angewendet und kam am Ende auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} q*:=\lim_{v \to \infty } \frac{e^{1}}{\pi } =0,81.. <1 \end{eqnarray*}$

=> Absolute Konvergenz

Jetzt soll ich den Grenzwert berechnen.
Da komme ich nicht weiter. Ich finde einfach keine "Ersatzformel" dafür.

Es wäre schön, wenn mir wieder jemand helfen könnte.

20.11.2010, 16:47

schultz

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ich weiß nich ob das stimmt, aber hier mal ein vorschlag...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-e)^{n-1}}{\pi ^{n+1}} \end{eqnarray*}$ ist mit indexverschiebung das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-e)^{n}}{\pi ^{n+2}} \end{eqnarray*}$ .
das ist das selbe wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{\pi^2} (\frac{-e}{\pi })^n \end{eqnarray*}$ .
und das sieht mir nach einer geometrischen reihe aus...

20.11.2010, 17:36

cHilLz0Ne

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Also für mich ist das nachvollziehbar. Macht auch irgendwie Sinn.

Ich habe dann am Ende folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi ^{2}+e*\pi } \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich auch mal einen Ansatz, wie man bei sowas vorgehen kann.

Vielleicht melde ich mich noch mal mit anderen Aufgaben Augenzwinkern

20.11.2010, 18:27

schultz

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immer wieder gerne Augenzwinkern

20.11.2010, 18:54

DerKoso

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ich habe es so gemacht

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty - \frac{\left(-e\right)^{n-1} }{\pi ^{n+1} } = - \frac{1}{e\pi } \cdot \left(-\frac{e}{\pi } \right)^{n} = - \frac{1}{e\pi } \cdot |\sqrt{ \left(-\frac{e}{\pi } \right)^{n}} | \end{eqnarray*}$

man kann dan das $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{e\pi } \end{eqnarray*}$ aus der reihe nehmen und denn rest mit der Geometrischen reihe vergleichen $\begin{eqnarray*} | q | <1, also -1<q<1 \end{eqnarray*}$

ich würde dann sagen die Reihe Konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \left(-\frac{e}{\pi }-1\right) \end{eqnarray*}$

aber auch ka ob es stimmt xD^^

Alle angaben ohne gewähr xD

PS: wir sind ja echt in der Selben Vorlesung zumindest sind das auch meine Übungen^^

22.11.2010, 18:42

schultz

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Zitat:

Original von DerKoso

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{e\pi } \cdot \left(-\frac{e}{\pi } \right)^{n} = - \frac{1}{e\pi } \cdot |\sqrt{ \left(-\frac{e}{\pi } \right)^{n}} | \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf diese gleichheit?

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