Anwendung Residuensatz

20.11.2010, 17:37

kruemel71

Anwendung Residuensatz

hallöle

ich hab diese aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{z²}}{z^4-z^3-z^2-2} dz \end{eqnarray*}$
Integrationsweg: Der Kreis mit Radius 4 und Mittelpunkt 0, mathemematisch positiv durchlaufen

und lösung: $\begin{eqnarray*} \frac{2e^4 \pi i}{15} - \frac{e \pi i}{3} + \frac{ \pi i}{5e} \end{eqnarray*}$

ich kann aber machen was ich will, ich komme nicht auf die lösung...

ich habe den weg $\begin{eqnarray*} \gamma (t)= 4e^{it} \end{eqnarray*}$ mit den grenzen $\begin{eqnarray*} t \in [0, 2 \pi] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma '(t)=4ie^{it} \end{eqnarray*}$

die nullstellen des nenners liegen bei ziemlich komisch werten... ich vermute, die muss man erst nach der parametrisierung bestimmen?

jetz sagt ja der ersiduenstaz *einfach*, dass man statt dem integral auch die residuen bei de singularitäten addiert und mit einem vorfaktor multipliziert...

als erstes müsste ich ja den weg parametrisieren... da hörts aba schon auf, weil ich nicht genau weiß, wie ich das handhaben soll mit der e-funktionen und den ganzen potenzen..

kann mir vllt jemand auf die sprünge helfen?

thx, gruß kruemel

21.11.2010, 11:42

Abakus

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RE: Anwendung Residuensatz
Hallo!

Der erste Schritt ist die Berechnung der Residuen, dazu brauchst zu die Faktorisierung des Nenners, wie lautet diese also?

Grüße Abakus smile

21.11.2010, 13:14

kruemel71

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ich soll doch einfach die nulstellen ausrechen und dann in der form (x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d) [a,b,c,d 4 nst für polynom 4.-grades] ??

weil die nullstellen berechne ich doch für eine funtkion n-ten grades indem ich einen teiler vom letzten glied mit x^0 nehme und per probierlösung versuche, dann polynomdivision... das funktioniert leider nicht und wolfram-alpha sagt mir die lösung liegt auf sehr krummen zahlen - soll ich die WA lösung verwenden oder gibt es einen besseren weg, die nst auszurechenen?

21.11.2010, 16:42

Abakus

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Du hast 2 reelle Nullstellen und 2 konjugiert komplexe:

Weißt du schon, ob die konjugiert komplexen Nullstellen in deinem relevanten Kreis liegen?

Du kannst versuchen, das Nennerpolynom zunächst in quadratische Terme zu zerlegen, aber wie auch immer, es ist Rechenarbeit.

Grüße Abakus smile

21.11.2010, 17:07

kruemel71

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4-x^3-x^2-2%3D0

ich hab die exakten lösungen mal ausrechnen lassen, bevor ich mich selber dran mache... darauf komm ich wahrscheinlich nie.. zumal wir das im kopf lösen können müssen

ich such mal ein bsp raus, wo man die nst auch berechnen kann..

21.11.2010, 17:16

kruemel71

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$\begin{eqnarray*} \int\frac{ e^{z²}}{z^4-3z^3+9z^2-27z} dz \end{eqnarray*}$

Integrationsweg: Der Kreis mit Radius 3 und Mittelpunkt 2, mathemematisch positiv durchlaufen
$\begin{eqnarray*} \gamma (t)= 3e^{it} +2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \gamma '(t)= 3i e^{it} \end{eqnarray*}$

nst -- $\begin{eqnarray*} z_1=0~~ z_2=3~~ z_{3,4}= \pm 3i \end{eqnarray*}$

---> $\begin{eqnarray*} \int\frac{ e^{z²}}{z (z-2) (z-3i) (z+3i)} dz \end{eqnarray*}$

jetz schauen welche der nst im kreis liegen... es liegen drin: $\begin{eqnarray*} z_1~~ z_2 \end{eqnarray*}$

jetzt davon die rsiduen berechen ?? oder erst den parametrisierten weg einbauen?

21.11.2010, 17:32

Abakus

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Zitat:

Original von kruemel71
jetzt davon die rsiduen berechen ?? oder erst den parametrisierten weg einbauen?

Jetzt brauchst du die PBZ oder eine Berechnungsformel für die Residuen.

Die Nullstellen bei der ersten Aufgabe sehen wirklich übel aus geschockt

.

Grüße Abakus smile

21.11.2010, 18:18

kruemel71

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ich hab mal die relevanten residuen berechnet...
für z=0 ist es -1/27 und für z=3 ist es exp(9)/54

21.11.2010, 22:46

kruemel71

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ich habs mir noch mal genau durchgelesen

die lösung müsste sein:

$\begin{eqnarray*} \frac {(e^9 -2) \pi i}{27} \end{eqnarray*}$

ja?? bittebitte - ich muss das in 12h können xD

21.11.2010, 23:10

Abakus

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Zitat:

Original von kruemel71
die lösung müsste sein:

$\begin{eqnarray*} \frac {(e^9 -2) \pi i}{27} \end{eqnarray*}$

Wie auch immer - verrate mal deinen Lösungs-/Rechenweg.

Grüße Abakus smile

22.11.2010, 00:14

kruemel71

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naja ich habe gefunden, dass man das integral als summe der residuen der singularitäen ausdrücken kann, wenn man über einen komplexen kreis integriert (--> ich habs nich so mit math. korrekten formulierurngen :/ also sry, falls das etwas schwammig ausgedrückt is)

$\begin{eqnarray*} \int_{\infty}^{\infty} f(x) dx = 2 \pi i \sum \limits_{a \in K} Res_af(x) \end{eqnarray*}$

wobei mit a alle nullstellen der polynome gemeint sind, die sich im integrationskreis befinden. wenn sich solch ein a auf dem rand des integrationskreises befindet, dann is das integral undefiniert...

also musst ich als letzten schritt nur noch die errechneten residuen mit $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ multiplizieren und schon war ich fertig...

$\begin{eqnarray*} 2 \pi i [-\frac{1}{27} + \frac{e^9}{54}] = \frac{(e^9-2) \pi i}{27} \end{eqnarray*}$

... jo, so dacht ich

22.11.2010, 17:29

Abakus

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Zitat:

Original von kruemel71
naja ich habe gefunden, dass man das integral als summe der residuen der singularitäen ausdrücken kann, wenn man über einen komplexen kreis integriert (--> ich habs nich so mit math. korrekten formulierurngen :/ also sry, falls das etwas schwammig ausgedrückt is)

$\begin{eqnarray*} \int_{\infty}^{\infty} f(x) dx = 2 \pi i \sum \limits_{a \in K} Res_af(x) \end{eqnarray*}$

wobei mit a alle nullstellen der polynome gemeint sind, die sich im integrationskreis befinden. wenn sich solch ein a auf dem rand des integrationskreises befindet, dann is das integral undefiniert...

OK, das klappt allerdings nicht immer: hier mal ein Kommentar eines Foristen dazu.

Hier würde es nicht funktionieren, die e-Funktion wächst ja sehr stark.

Zitat:

also musst ich als letzten schritt nur noch die errechneten residuen mit $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ multiplizieren und schon war ich fertig...

$\begin{eqnarray*} 2 \pi i [-\frac{1}{27} + \frac{e^9}{54}] = \frac{(e^9-2) \pi i}{27} \end{eqnarray*}$

So kriegst du das Kurvenintegral dann. Meine Frage bezog sich aber auf die Residuen selbst, wie genau hast du die ausgerechnet?

Grüße Abakus smile

22.11.2010, 22:41

kruemel71

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Zitat:

Original von kruemel71
nst -- $\begin{eqnarray*} z_1=0~~ z_2=3~~ z_{3,4}= \pm 3i \end{eqnarray*}$

---> $\begin{eqnarray*} \int\frac{ e^{z²}}{z (z-2) (z-3i) (z+3i)} dz \end{eqnarray*}$

jetz schauen welche der nst im kreis liegen... es liegen drin: $\begin{eqnarray*} z_1~~ z_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res_af(z)= \frac{g(z)}{h'(z)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Res_0f(z)= \frac{e^{z²}}{(z-2) (z-3i) (z+3i)}=-\frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

okay xD 2*9=18 nicht 27^^

$\begin{eqnarray*} Res_3f(z)= \frac{e^{z²}}{z (z-3i) (z+3i)}=\frac{e^9}{54} \end{eqnarray*}$

wobei ich dazusagen sollte, dass ich bei der ableitung, die terme die eh 0 werden gleich weggelassen hab

kruemelchen

22.11.2010, 22:52

Abakus

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Interessanter Trick, das zu berechnen und nur die Terme zu betrachten, die nicht Null werden Augenzwinkern

. Beim letzten Fall ist es aber 2 als Nullstelle dann, ansonsten ok.

Grüße Abakus smile

22.11.2010, 23:11

kruemel71

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du hast völlig recht xD ich weiß auch nich, was ich in letzter zeit so mit zahlen mache smile

viele dank nochma

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