"Besondere" Lage von Ebenen |
| 20.11.2010, 18:07 | manu92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| "Besondere" Lage von Ebenen ich habe grade so ein richtiges Problem bei Geraden und Ebenen. Wie erkennt man denn an einer Parameterform, dass die Ebene z.B. parallel zur x3-Achse ist? Folgende Ebene ist parallel zur x3-Achse: Kommt es nur auf diesen ersten Richtungsvektor an, der sich nur in x3 Richtung bewegt? Ich hab jetzt dann folgende Aufgabe: Eine durch P (0/-5/0) gehende Ebene E1 ist parallel zur x3 Achse und zur Geraden mit der Parameterdarstellung . Eine zweite Ebene E2 wird durch die Punkte O (0/0/0), Q (1/1/2) und R (1/0/1) festgelegt. Eine dritte Ebene E3 hat die Gleichung 2x1-3x2+x3 =0. Man zeige, dass die Ebenen genau einen Punkt S gemeinsam haben und berechne seine Koordinaten. Zu E1: Der verwendete Aufhängerpunkt ist logischerweise P. Als Richtungsvektoren würde ich jetzt erstens k*(0 0 1) nehmen. Als zweiten dann einen, der von diesem und vom Richtungsvektor der Geraden linear abhängig ist, oder? D.h. für E1 wäre möglich: Als E2 hätte ich dann: x= (0 0 0) + k* (1 1 2) + l* (1 0 1) Soweit richtig? E3 ist vorgegeben. Wie wiese ich dann nach, dass sie den einen gemeinsamen Punkt haben? Setze ich E1 mit E2 und E3 gleich und dann kommt der gleiche Punkt raus, was als Nachweis genügt? Danke schonmal. |
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| 20.11.2010, 19:16 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: "Besondere" Lage von Ebenen 1. Wie erkennt man, dass E parallel zur x3-Achse ist? Im vorliegenden Fall ist es tatsächlich besonders einfach, weil (0,0,1) ein Richtungsvektor von E ist. Im allgemeinen könnte man so vorgehen: Wenn u und v die Richtungsvektoren sind, bilde man das Vektorprodukt n = u x v. n ist dann ein Normalvektor von E und steht senkrecht auf (0,0,1) (d.h. Skalarprodukt 0). 2. Die E1-Gleichung ist richtig. Der Richtungsvektor (2,10,2) könnte ebensogut durch den Geraden-Richtungsvektor (1,5,0) ersetzt werden. 3. Die E2-Gleichung ist richtig. (0,0,0) darf weggelassen werden. 4. Die Berechnung des gemeinsamen Punktes (falls es ihn gibt), wäre mit einem System von 3 Koordinatengleichungen einfacher, als teilweise mit Parametergleichungen. Es würde sich deshalb lohnen, die beiden Parametergleichungen zuerst auch in eine Koordinatengleichung umzuformen. |
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| 21.11.2010, 11:24 | manu92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, danke schonmal. Mein Problem ist jetzt, dass ich mit der weiteren Berechnung überhaupt nicht klar komme. Ich erkenne hinter dem, was wir in der Schule gemacht haben überhaupt kein System, irgendwie haben wir halt immer Parameter der einen durch die andere Gleichung ausgedrückt, aber was mir das dann sagt, keine Ahnung. Vor allem, hatten wir noch nie dass Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben... ich hätte gesagt das geht gar nicht... wir hatten eigentlich nur den Fall dass Ebenen identisch sind, aber irgendwie sieht jede Rechnung trotzdem völlig anders aus. Erstmal bin ich dem Rat befolgt E1 in par.freie Form umzuformen, aber hier tritt schon ein Problem auf. Ich bekomme folgende Gleichungen: x1 = 2s x2= -5+10s x3= r+2s Da bekomme ich das r nie raus, wir hatten sowas mal, haben dann aber ganz anders weitergerechnet... Ich hab auch mal versucht, E1 und E2 in ihrere Paramterform gleichzusetzen, aber dann komme ich irgendwann zu dem Punkt, wo ich zwei Gleichungen habe und absolut keine Ahnung, was sie zu bedeuten haben. Erstmal ergibt sich bei Gleichsetzung: I: 2s = k+ l II: -5 + 10s = k III: r + 2s = 2k + l Wenn man dann I-II und I-III rechnet ergeben sich folgende Gleichungen: 5 - 8s = l sowie -r = -k Das kann ich jetzt höchstens in E2 einsetzen für k und l, aber wie bekomme ich dann einen Punkt raus?... Ich bin grad total verwirrt.... |
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| 21.11.2010, 11:36 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ziel ist eine parameterfreie Gleichung für E1. Diese ist erreichbar mit den ersten beiden Gleichungen, indem s eliminiert wird. (Die dritte Gleichung wird nicht benützt.) Bei E2 hat man: x1 = k+ l x2 = k x3 = 2k + l Ziel ist auch hier eine parameterfreie Gleichung für E2. (Eliminiere k und l.) |
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| 21.11.2010, 12:09 | manu92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, danke. Jetzt hab ich das endlich verstanden. Dass x3 nciht auftaucht ist ja auch logisch wiel x3 beliebige Werte annehmen darf (da x3 Achsen parallel). Ich hab einen Punkt gefunden der alle 3 Gleichungen erfüllt. Ich gehe gleich an die nächste Aufgabe, hoffe ich komme nun damit klar. Dankeschön! |
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| 21.11.2010, 12:28 | manu92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Folgendes noch, Lösungsvorschläge habe ich schon, hätte sie nur gerne bestätigt. Welche speziellen Lagen zu den Koordinatenebenen oder -achsen besitzen folgende Ebenen? E1: 2x1 + 3x2 - x3 = 0 -> Mit einem Fragezeichen dabei sage ich, dass hier nichts feststellbar ist?! E2: x1 + 2x3 -2 = 0 -> Die Ebene ist parallel zur x2 Achse E3: x = (1 -2,5 4) + k (1 0 3) + l (-3 0 1) -> Die Ebene ist parallel zur x1-x3 Ebene E4: 2x2 + 5 = 0 -> Die Ebene ist parallel zur x1-x3 Ebene |
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| 21.11.2010, 12:32 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. (E1 geht speziell durch den Ursprung (0,0,0).) |
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