Vektorräume Vektorraum

20.11.2010, 18:47

Lena Lena Lena

Vektorräume Vektorraum

Meine Frage:
Sei V ein Vektorraum, F ein Körper. Seinen W1,...Wp Unterräume von V und W:= W1+....+Wp. Dann heißt W die direkte Summe der Wi, wenn für iE{1,...p}gilt, dass Wi geschnitten Summej?i Wj={0} ist.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) W ist direkte Summe der Wi.
(ii) Für beliebige ai E Wi, i E {1,...,p}, welche Summe^p i=1 ai=0 erfüllen, folgt bereits ai=0 für alle i E {1,...,p}.

Meine Ideen:
Das i gilt geht finde ich schon aus der Aufgabenstellung heraus. Aber wie beweise ich, das (ii) das gleiche ist?
Und muss ich beide beweisen um zu zeigen, dass sie äquivalent sind?

20.11.2010, 18:55

Elvis

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"Äquivalent" heißt: aus (i) folgt (ii) und aus (ii) folgt (i) . Beides musst du zeigen. Frag nicht, wie.

20.11.2010, 19:31

Lena Lena Lena

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Okay danke=)

Kann mir sonst vllt nen Tipp geben wie ich des mach?

20.11.2010, 20:01

Elvis

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Ja, sogar 2 Tipps. Erstens: lesbar schreiben, z.B. mit LATEX, das klärt die Sicht und die Gedanken. Zweitens: Definition anwenden führt direkt von (i) nach (ii), und umgekehrt.

20.11.2010, 20:18

Lena Lena Lena

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Jaaaa ich weiß ich sollte Latex benutzen....
Du meinst die Definiton der direkten Summe aus der Aufgabenstellung?

21.11.2010, 11:55

Elvis

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Zitat:

Original von Lena Lena Lena
Jaaaa ich weiß ich sollte Latex benutzen....
Du meinst die Definiton der direkten Summe aus der Aufgabenstellung?

Diese Definition meine ich, ja. Eine andere haben wir in der Aufgabe nicht.

21.11.2010, 16:40

msc77777

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Bin an derselben Aufgabe. Vielleicht zum Verständnis, hier ist die Aufg. nochmals:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein Körper. Seien $\begin{eqnarray*} W_1,...,W_p \end{eqnarray*}$ Unterräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W := W_1+...+W_p \end{eqnarray*}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die direkte Summe der $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ , wenn für $\begin{eqnarray*} i\in\{1,...,p\} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ ist.

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist direkte Summe der $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ .
(ii) Für beliebige $\begin{eqnarray*} a_i\in W_i, i \in \{1,...,p\} \end{eqnarray*}$ , welche $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^pa_i=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen, folgt bereits $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \in \{1,...,p\} \end{eqnarray*}$ .

Ich denk mal, die Äquivalenz ist nicht wahnsinnig schwierig zu zeigen, jedoch begreife ich die Aufgabe nicht vollends. Vorallem mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ in der Definition hab ich meine Mühe. $\begin{eqnarray*} W_j \end{eqnarray*}$ ist ja gar nicht definiert, wir haben doch nur die Unterräume $\begin{eqnarray*} W_1,...,W_p \end{eqnarray*}$ . Wenn nun $\begin{eqnarray*} i\in\{1,...,p\} \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} j\neq i \end{eqnarray*}$ existiert doch überhaupt kein $\begin{eqnarray*} W_j \end{eqnarray*}$ , oder?
Also warum soll dann $\begin{eqnarray*} W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ sein? Ist dass ein Schreibfehler und es sollte eigentlich die leere Menge ergeben oder hab ich da was grundessentielles nicht verstanden?
Ich hoffe es kann hier jemand Licht in die Sache bringen...

Vielen Dank!

21.11.2010, 19:05

Elvis

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Hier ist das Licht : die Summe erstrecke sich über alle $\begin{eqnarray*} j\in\{1,...,p\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j\neq i \end{eqnarray*}$ .

21.11.2010, 20:17

msc77777

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Dann heisst $\begin{eqnarray*} W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ nichts anderes als:
$\begin{eqnarray*} W_1\cap W_2\cap ... \cap W_i = \{0\} \end{eqnarray*}$ ?

Dass Null in jedem Unterraum vorhanden sein muss geht schon aus der Definition von Unterräumen. Nun wird einfach noch gesagt, dass keine der Unterräume gleiche Elemente enthalten (ausser eben die Null). Ist das richtig?

Mir ist eben auch nicht ganz klar, wie man denn ganze Unterräume miteinander addieren kann bzw. was da genau passiert. Könntest du mir das anschaulich erläutern?

Vielen Dank

22.11.2010, 14:23

güntherx

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Bin auch gerade an dieser Aufgabe dran. smile

Sei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die direkte Summe der $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ . Dann gilt laut Definition: $\begin{eqnarray*} W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\{1,...,p\} \end{eqnarray*}$ .
Seien nun $\begin{eqnarray*} a_i \in W_i \end{eqnarray*}$ und es gelte $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^pa_i=0 \end{eqnarray*}$ .

Gilt dann nicht auch, dass $\begin{eqnarray*} a_1 \in W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2010, 18:42

güntherx

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Unsinn, es gilt natürlich nicht, dass $\begin{eqnarray*} a_1 \in W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ . :/

Kann hier jemand zeigen, was der entscheidende Schritt (von i -> ii) ist?

Was sagt die Definiton der direkten Summe über beliebige $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^pa_i=0 \end{eqnarray*}$ gilt aus?
Das ist mir nicht ganz klar.

Ich kann also aus einem beliebigen $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ beliebige $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ nehmen; wenn diese $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^pa_i=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen, dann muss daraus folgen, dass $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Es wird wohl irgendetwas mit $\begin{eqnarray*} W_i\cap\sum_{j\neq i}W_j=\{0\} \end{eqnarray*}$ zu tun haben.

Kann hier nochmal jemand einen Tipp geben?

22.11.2010, 21:10

msc77777

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Für =>, hab ich mir dies überlegt:

Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^pa_i=a_1+\sum_{i=2}^pa_i=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_i\in W_i\Rightarrow a_1\in W_i\Rightarrow \sum_{i=2}^pa_i\in\sum_{i=2}^pW_i \end{eqnarray*}$
Mit der Definition folgt dann $\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$

Weiss nicht ob das richtig ist oder ich irgendwas übersehen habe. Aber es hilft uns ja hier sonst niemand... Wink

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