Reihen Grenzwert + Konvergenz bestimmen

20.11.2010, 19:45

DerKoso

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Reihen Grenzwert + Konvergenz bestimmen

Die Aufgaben Stellung:
Untersuchen Sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

die zweite aufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty ln(1-\frac{1}{n^2} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

a) nenner ausmultiplzieren

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2 +2n+n+2} \end{eqnarray*}$

dann habe ich das QK benutzt aber das Liefert mir auch kein Brauchbares Ergebnis kommt ja eins Raus

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n^2 +2n+n+2} \cdot \frac{(n+1)^2 +2(n+1)+(n+1)+2}{n+1}=\frac{(n+1)^2 +2(n+1)+(n+1)+2}{n^2 +2n+n+2} \end{eqnarray*}$

b) ka wie ich da anfangen kann hat vieleicht einer ein Tipp

20.11.2010, 20:28

René Gruber

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Die zweite ist eine (leicht) verkappte Teleskopreihe.

20.11.2010, 20:47

Mulder

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Beim ersten stinkt der Nenner auch ziemlich nach Teleskop. Hast du mal eine Partialbruchzerlegung in Betracht gezogen?

20.11.2010, 21:24

René Gruber

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Bei der ersten Reihe ist wohl eher die Abschätzung durch eine harmonische Reihe als divergente Minorante passend.

20.11.2010, 21:28

DerKoso

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Danke für eure Antworten werde es Morgen Früh versuchen zu lösen mach mal jetzt eine Mathe Pause^^ xD ob das geht^^

21.11.2010, 12:08

faulix

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Zitat:

Original von René Gruber
Bei der ersten Reihe ist wohl eher die Abschätzung durch eine harmonische Reihe als divergente Minorante passend.

Aber die harmonische Reihe ist doch größer, da im Nenner n+3 vorliegt. Somit wäre die harmonische Reihe doch eher eine divergente Majorante oder sehe ich da etwas falsch?

Zitat:

Original von René Gruber
Die zweite ist eine (leicht) verkappte Teleskopreihe.

Kannst du das etwas näher erklären, ich habe es nicht geschafft daraus eine Teleskopsumme zu machen.

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21.11.2010, 12:29

lol25

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ist einer von euch hier weiter gekommen.
Ich binn nämlich hier nicht mehr weiter gekommen

21.11.2010, 12:29

DerKoso

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meint ihr es so bei der Ersten

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2n+n+2} \geq \frac{n}{n^2+5n} \geq \frac{1}{n+5} \geq \frac{1}{5n} \end{eqnarray*}$

da die Harmonische Reihe Divergiert divergiert auch diese Reihe

bei der Zweiten finde ich in mein Script nichts uber Teleskopreihen

hmm in Wiki finde ich auch nur Teleskopsummen

habt ihr vieleicht eine Definition davon

21.11.2010, 12:32

René Gruber

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Zitat:

Original von faulix
Aber die harmonische Reihe ist doch größer, da im Nenner n+3 vorliegt. Somit wäre die harmonische Reihe doch eher eine divergente Majorante oder sehe ich da etwas falsch?

Kein Mensch hat gesagt, dass du

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n+1)(n+2)} \leq \frac{n}{n\cdot n} \end{eqnarray*}$

abschätzen sollst, das nützt in der Tat nichts. Ich meinte sowas wie

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n+1)(n+2)} \geq \frac{n}{(n+n)(n+2n)} = \frac{1}{6n} \end{eqnarray*}$ .

21.11.2010, 12:36

DerKoso

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@Rene Gruber

stimmt meine Lösung nicht^^

zu 2ten aufgabe

habe auch noch eine frage kann man eigentlich die klammer als Harmonische Reihe abschätzen

Edit :bringt ja garnichts ^^

21.11.2010, 12:38

René Gruber

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Deinen Beitrag 12:29 hatte ich noch nicht gesehen. Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ haut deine Abschätzung hin, und das reicht ja auch. Freude

Freude

21.11.2010, 12:40

DerKoso

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THHHHHHXXXXXXxxx und Danke für denn Tipp^^

21.11.2010, 12:49

René Gruber

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Bei der zweiten Aufgabe musst du den Ausdruck im Logarithmus erstmal geeignet faktorisieren:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n^2} = \frac{n^2-1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du Logarithmengesetze anwenden, und die Teleskopstruktur sollte deutlich werden.

21.11.2010, 12:58

DerKoso

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$\begin{eqnarray*} ln(1-\frac{1}{n^2} = ln(\frac{1-n^2}{n^2})=ln(n-1)+ln(n+1)-2ln(n) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig

Edit hab dein Post net gelesen ^^

kannst mir sagen was das Bring^^ seh da kein Nutzt bin vieleicht Matheblind^^

21.11.2010, 13:09

DerKoso

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kann man so denn Grenzwert vielecht Bestimmen

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1-\frac{1}{n^2} }{1}) = ln(1) = 0 \end{eqnarray*}$ als Grenzwert [

Stimmt das vieleicht ^^

oder liege ich da tottal falsch^^

21.11.2010, 13:47

René Gruber

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Damit hast du nachgewiesen, dass der Grenzwert des Reihengliedes gleich Null ist. Herzlichen Glückwunsch, damit hast du nachgewiesen, dass die notwendige Bedingung der Reihenkonvergenz erfüllt ist - mehr allerdings nicht.

Warum verlässt du den erfolgversprechenden Weg einfach so? unglücklich

unglücklich

21.11.2010, 13:49

DerKoso

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hab glaube ich denn Pfaden verloren ^^

war wenigstens meine reihen aufteilung gut^^

*hast vieleicht noch ein tipp für mich^^

21.11.2010, 13:51

lol25

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Könnt ihr uns hilfe suchenden Menschen nicht wenigstens einen Ansatz geben.
Wir wollen Mathe kapieren

21.11.2010, 13:52

René Gruber

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Was du bisher hast, ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right) = \sum\limits_{n=2}^\infty (\ln(n-1)+\ln(n+1)-2\ln(n)) = \sum\limits_{n=2}^\infty ((\ln(n-1)-\ln(n))-(\ln(n)-\ln(n+1))) = \sum\limits_{n=2}^\infty \left( \ln\left(\frac{n-1}{n}\right)-\ln\left(\frac{n}{n+1}\right) \right) \end{eqnarray*}$

Teleskopreihe - T E L E S K O P R E I H E.

21.11.2010, 14:17

faulix

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Zitat:

Original von René Gruber
Damit hast du nachgewiesen, dass der Grenzwert des Reihengliedes gleich Null ist. Herzlichen Glückwunsch, damit hast du nachgewiesen, dass die notwendige Bedingung der Reihenkonvergenz erfüllt ist - mehr allerdings nicht.

Warum verlässt du den erfolgversprechenden Weg einfach so? unglücklich

unglücklich

Was er gemacht hat ist durchaus nützlich für den endgültigen Lösungsweg, jedoch nicht an diesem Punkt. Später bei dem Berechnen des Grenzwertes der Teleskopsumme benötigt er diesen Grenzwert.

21.11.2010, 14:22

René Gruber

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Zitat:

Original von faulix
Später bei dem Berechnen des Grenzwertes der Teleskopsumme benötigt er diesen Grenzwert.

Wie ich schon sagte: Dass dieser Grenzwert 0 ist, ist notwendig für die Reihenkonvergenz - mehr nicht. Bei der Betrachtung als Teleskopreihe fällt aber die Reihenkonvergenz - dann sogar als hinreichendes Kriterium - sowieso mit ab. Also ist diese Berechnung zwar nicht falsch, aber überflüssig.

Oder mit anderen Worten:

Was benötigt wird, ist nicht $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \ln\left(\frac{n-1}{n}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Vermutlich hast du diese beiden Dinge verwechselt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.11.2010, 14:30

faulix

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von faulix
Später bei dem Berechnen des Grenzwertes der Teleskopsumme benötigt er diesen Grenzwert.

Wie ich schon sagte: Dass dieser Grenzwert 0 ist, ist notwendig für die Reihenkonvergenz - mehr nicht. Bei der Betrachtung als Teleskopreihe fällt aber die Reihenkonvergenz - dann sogar als hinreichendes Kriterium - sowieso mit ab. Also ist diese Berechnung zwar nicht falsch, aber überflüssig.

Oder mit anderen Worten:

Was benötigt wird, ist nicht $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \ln\left(\frac{n-1}{n}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Vermutlich hast du diese beiden Dinge verwechselt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja ich hatte die Fomel bei Wiki gelesen, dass der Wert a1 (bzw. a2) - g (Grenzwert der Glieder). Da nun aber sowieso alle Glieder 0 haben müssen ist das komplett überflüssig. Daher dachte ich im ersten Moment man würde den Grenzwert der Glieder benötigen.

Ist die Teleskopsumme selbst schon ein Kriterium für die Konvergenz oder muss man zusätzlich das notwendige Kriterium oder sonst etwas prüfen?

Die Lösung ist dann ln(3/4) oder?

21.11.2010, 14:31

DerKoso

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Steh gerade Tottal auf den schlauch^^

21.11.2010, 14:33

faulix

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Zitat:

Original von DerKoso
Steh gerade Tottal auf den schlauch^^

Wo bist du denn ausgestiegen?

21.11.2010, 14:38

DerKoso

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bei denn Letzten Post von Rene

komm da net weiter glaub mich stört nur der bergriff Teleskopreihe^^

hast du es schon hin bekommen

21.11.2010, 14:41

faulix

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Ja ich denke ich habe es gelöst.

Die Definition von einer Teleskopreihe/-summe findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

Umgangssprachlich kann man sagen, dass sich bei einer Teleskopreihe immer die nacheinander folgenden Glieder rauskürzen. Hast du also eine Teleskopreihe vorliegen, so ist der Grenzwert a(Startwert von n), da sich der Rest gegenseitig rauskürzt.

Hab ich nun am falschen Punkt angesetzt oder was verstehst du nicht?

21.11.2010, 15:03

DerKoso

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von Wiki

Zitat:

ist genau dann konvergent, wenn $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb{N}}\ \end{eqnarray*}$ , gegen einen Grenzwert g, konvergiert. Die Summe der Reihe ist dann gleich $\begin{eqnarray*} a_1-g\,. \end{eqnarray*}$

ich versteh nicht wie der auf denn grenzwert g kommt ^^ kann mir das einer erklären

21.11.2010, 15:05

faulix

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Einfach den Grenzwert der Folge bilden. Die muss laut dem notwendigen Kriterium aber sowieso 0 sein.

21.11.2010, 15:08

lol25

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faulix . Kannst du mir erklären wie du auf ln 3/4 kommst bei der rechnung.

21.11.2010, 15:12

faulix

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Zitat:

Original von lol25
faulix . Kannst du mir erklären wie du auf ln 3/4 kommst bei der rechnung.

Laut der Formel ist die Summe einer Teleskopreihe das erste Glied minus dem Grenzwert der Glieder. Der Grenzwert der Glieder ist sowieso immer 0. Da das erste Glied bei der Aufgabe bei 2 anfängt (n=2 bei der Reihe) habe ich a(2) genommen und den Grenzwert (0) davon abgezogen. Und 1-1/4 ist nunmal 3/4.

21.11.2010, 15:35

DerKoso

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also ist

$\begin{eqnarray*} g= \lim\limits_{n\to\infty}%20\ln\left(\frac{n-1}{n}\right)=0 \end{eqnarray*}$

und jetzt muss ich ja An - g machen in diesem fall

$\begin{eqnarray*} \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)- 0 \end{eqnarray*}$

du meinst es dann so oder
$\begin{eqnarray*} \ln\left(1-\frac{1}{2^2}\right)- 0 = ln(\frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$

oder?

dann ist ja jetzt der Grenzwert doch $\begin{eqnarray*} ln(\frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$

und die Konvergenz ist ja laut g = O

oder ?

21.11.2010, 15:41

René Gruber

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@faulix

Bei der Reihenwertberechnung ist dir wieder dieser Verwechslungsfehler unterlaufen: Der Reihenwert ist gleich dem Wert $\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{n-1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ für den ersten Reihenindex $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ , also gleich

$\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{1}{2} \right) = -\ln(2) \end{eqnarray*}$ .

Dagegen ist $\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{3}{4} \right) \end{eqnarray*}$ nur das erste Reihenglied, aber nicht der Reihenwert. unglücklich

unglücklich

EDIT: So mancher ist vielleicht durch das Summensymbol verwirrt, vielleicht hilft mal das Aufschreiben des Reihenanfangsstückes in "einfacher" Weise:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \left( \ln\left(\frac{n-1}{n}\right)-\ln\left(\frac{n}{n+1}\right) \right) = \left( \ln\left(\frac{1}{2}\right)-\ln\left(\frac{2}{3}\right) \right) + \left( \ln\left(\frac{2}{3}\right)-\ln\left(\frac{3}{4}\right) \right) + \left( \ln\left(\frac{3}{4}\right)-\ln\left(\frac{4}{5}\right) \right) + \ldots \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 16:02

DerKoso

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also ist der Grenzwert ln(1/2) = -ln(2)

aber wie zeige ich das die reihe Konvergiert/divergiert ?

habe jetzt verstanden wieso man die die Teleskopreihe Teleskop nennt^^

21.11.2010, 16:05

faulix

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Zitat:

Der Reihenwert ist gleich dem Wert $\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{n-1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ für den ersten Reihenindex $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ , also gleich

$\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{1}{2} \right) = -\ln(2) \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht wie bzw. wo du auf $\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{n-1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ kommst, wo hast du das her?

21.11.2010, 16:06

DerKoso

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schau mal 2te seite da hat er das hergeleitet

ich glaub so war das

ln(n-1) - ln(n) = ln(n-1/n)

21.11.2010, 16:14

faulix

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Zitat:

Original von DerKoso
schau mal 2te seite da hat er das hergeleitet

ich glaub so war das

ln(n-1) - ln(n) = ln(n-1/n)

Ahh... hab es gefunden, nun hab ich es verstanden. Vielen Dank!

21.11.2010, 16:19

René Gruber

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Jetzt am Ende alles nochmal gerafft dargestellt: Es ist

$\begin{eqnarray*} \ln\left( 1-\frac{1}{n^2}\right) = \ln\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right) = \ln\left(\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n}\right) = \ln\left(\frac{n-1}{n}\right)-\ln\left(\frac{n}{n+1}\right) \end{eqnarray*}$ ,

also kann man schreiben

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \ln\left( 1-\frac{1}{n^2}\right) = \sum\limits_{n=2}^\infty (a_n-a_{n+1}) \quad \textrm{mit}\; a_n := \ln\left(\frac{n-1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ ,

das ist genau die Struktur einer Teleskopreihe. Und die konvergiert dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ existiert, in dem Fall ist dann der Reihenwert gleich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty (a_n-a_{n+1}) = a_2 - \lim\limits_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ .

Und dann nur noch unser konkretes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

21.11.2010, 16:22

lol25

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Aber wie kommt hier dann -ln 2 raus

21.11.2010, 16:30

DerKoso

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-ln(2/2-1)= -ln(2)

ist genau das selbe wie ln(1/2)

21.11.2010, 16:38

lol25

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ich meine wenn man sich den letzten Schritt von rene anschaut.
Kannst du mir das erklären.

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