Vollständige Induktion scheitert an Umformen

20.11.2010, 20:25	AngelsEnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion scheitert an Umformen Meine Frage: Halli Hallo, Ich stehe gerade vor einer aufgabe, die ich mit der Vollständigen Induktion beweisen soll. Die Induktionsschritte sind ja nicht das Problem, nur wie ich später Umforme um eben auf das Ergebnis zu kommen daran scheitere ich gerade xD Aufgabe lautet wie folgt Beweisen sie die folgenden Aussagen mit volls. induktion $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{i}{2^{i}} = 2-\frac{n+2}{2^{n}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: So da bin ich wie folgt vorgegangen. Habe den Induktionsanfang gemcht für n=1 bin dann auf 1/2 = 1/2 gekommen, also wahr dann induktionsschrit mit n >= 1 A(n) gilt, d.h. die obige gleichung gilt Zu zeigen: Induktionsbehauptung: A(n+1), d.h. wenn \sum\limits_{k=1}^n \frac{i}{2^{i}} = 2-\frac{n+2}{2^{n}} gilt, dann auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{i}{2^{i}} = 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Dann schreibe ich nun $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2^{i}} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2^{i}} + \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Und laut Induktionsvorraussetzung: $\begin{eqnarray} 2-\frac{n+2}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Und genau hier habe ich nun ein Problem, da ich ja jetzt irgendwie zeigen muss, das dieser Ausdruck: $\begin{eqnarray} 2-\frac{n+2}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Gleich diesem Ausdruck ist: $\begin{eqnarray} 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand nen Denkanstoß geben wie ich bei der Umformung ansetzen könnte? Gruß Angel
20.11.2010, 20:28	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Entspricht dein $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ deinem $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ? Ibn Batuta
20.11.2010, 20:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du nicht zeigen weil der Fehler schon davor passiert ist. Du hast das i (bzw. k) im Zähler komplett ignoriert/vergessen
20.11.2010, 20:54	AngelsEnd	Auf diesen Beitrag antworten »
upps ja sry xD das is weil ich mich mit latex noch nich so ganz7 auskenne und latex ja von sich aus das k macht, aber ja das k soll eigentlich ein i sein xD

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