Partielle Ableitung mit Skalarprodukt

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18.06.2004, 17:19	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitung mit Skalarprodukt Folgende Funktion soll partiell nach $\begin{align} x_j \end{align}$ differenziert werden: $\begin{align} f($\array{x_1\\ \vdots\\x_n}$ )=ln$\Bigsum_{i=0}^m~exp\(\left\langle\(\array{a_1^i\\ \vdots\\a_n^i$,$\array{x_1\\ \vdots\\x_n}$ \right\rangle\)\) \end{align}$ Dabei bezeichnet <.,.> ein beliebiges Skalarprodukt. Herauskommen sollte $\begin{align} \Bigsum_{i=0}^m~\lambda_i a_j^i \end{align}$ mit $\begin{align} \lambda_i=\frac{exp$\left\langle\(\array{a_1^i\\ \vdots\\a_n^i}$,$\array{x_1\\ \vdots\\x_n}$ \right\rangle\)} {\Bigsum_{r=0}^m~exp$\left\langle\(\array{a_1^r\\ \vdots\\a_n^r}$,$\array{x_1\\ \vdots\\x_n}$ \right\rangle\)} \end{align}$ In welchem Zwischenschritt geht da welche Eigenschaft des Skalarproduktes ein? Gruß vom Ben
18.06.2004, 23:16	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wir haben $\begin{align} f(x) = \ln (\sum_{i=1}^m e^{<a^i,x>}) \end{align}$ . Die j-te partielle Ableitung ist also $\begin{align} D_j f(x) = \frac{1}{\sum_{i=1}^m e^{<a^i,x>}} \cdot \sum_{i=1}^m e^{<a^i,x>}\cdot D_j <a^i,x> \end{align}$ Es fehlt also noch $\begin{align} D_j <a^i,x> \end{align}$ Hier erst brauchen wir Eigenschaften des Skalarprodukts. Wir betrachten den Differenzenquotienten $\begin{align} \frac{<a^i,x+h\cdot e_j>-<a^i,x>}{h} = \frac{h\cdot <a^i,e_j>}{h} = <a^i,e_j> \end{align}$ Da kommt nicht notwendig $\begin{align} a_j^i \end{align}$ raus.
19.06.2004, 00:17	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab ich mir doch gedacht, dass der Autor hier irgendwie implizit das kanonische Skalarprodukt angenommen hat. X( Oder weiß es jemand noch besser?
19.06.2004, 00:19	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das kanonische Skalarprodukt kommt a^i_j raus. Für ein anderes nicht notwendig: Nimm <a,x> := 2 a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... a_n x_n als Skalarprodukt. Da ist D_1 <a, x> = 2 a_1.
19.06.2004, 00:39	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, sogar ein Gegenbeispiel :] Da hätten wir ihn also überführt Edit: Ist das hier nur meine Dusseligkeit oder ist der Autor so schlampig? Bin ihm gegenüber jetzt etwas mißtrauisch Folgender Schluss ist als "einfache Übungsaufgabe" tituliert: (Es gibt kein x, so dass $\begin{align} \left\langle a^i,x\right\rangle<0 \end{align}$ für i=0,1,...,m ) => die Funktion $\begin{align} f(x) = \ln (\sum_{i=1}^m e^{<a^i,x>}) \end{align}$ ist nach unten beschränkt. Wenn die Negation des ersten Teils lauten würde "es gibt ein x, so dass für alle i gilt $\begin{align} \left\langle a^i,x\right\rangle \geq 0 \end{align}$ ", dann wäre es mir auch sofort klar, aber richtig muss es ja heißen: "es gibt ein x, so dass für mindestens ein i gilt...".
19.06.2004, 07:14	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
g Danke für deinen "Edit-Alarm", der per PN einflog. SirJective und ich sehen momentan zwei mögliche Interpretationen der Voraussetzung: 1. $\begin{align} \not \exists x: \exists i: <a^i,x> < 0 \end{align}$ Diese Aussage ist unerfüllbar: Betrachte sowohl x als auch -x. 2. $\begin{align} \not \exists x: \forall i: <a^i,x> < 0 \end{align}$ Diese Aussage ist gleichbedeutend mit $\begin{align} \forall x: \exists i: <a^i,x> \geq 0 \end{align}$ Also wissen wir schonmal, was gemeint sein muss, es sei denn jemand findet eine dritte Interpretation. Später werden wir uns mal überlegen, ob aus der die Beschränktheit nach unten folgt. Irrlicht und SirJective
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20.06.2004, 17:27	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
War mir auch sehr sicher, dass Letzteres gemeint ist Gruß vom Ben Edit: Nun ist mir aufgegangen , wie man aus letzterer Aussage die Beschränktheit folgt, die Aussage für ein i genügt: Wenn $\begin{align} \left\langle a^i,x\right\rangle \geq 0 \end{align}$ für ein i ist, so ist $\begin{align} \Bigsum_{i=0}^m~exp\left\langle a^i,x\right\rangle >1 \end{align}$ , da der Summand für dieses i grösser gleich 1 ist und für alle anderen i > 0 ist (Eigenschaft der Exponentialfkt.). Und ln (1)=0, also ist 0 eine untere Schranke. Hier wurde jeweils implizit benutzt, dass exp und ln monoton sind.
21.06.2004, 15:32	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht mir richtig aus. Die Monotonie von exp und ln brauchst du eigentlich gar nicht, sondern nur, dass ln(x)>0 ist für x>1 und dass exp(x)>1 ist für x>0 und exp(x)>0 für alle x.
21.06.2004, 15:36	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Recht!

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