Schnittgerade von 2 Ebenen

20.11.2010, 22:45

Whitis

Schnittgerade von 2 Ebenen

Hallo, es geht um folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2:

$\begin{eqnarray*} E_{1} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} E_{2} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dazu habe ich auch einen Lösungsweg, doch verstehe ich ihn nicht. Die genaue Frage stelle ich nach dem ich die Lösung genannt habe:

$\begin{eqnarray*} E_{1} x_{1} = 1 + r + s x_{2} = s x_{3} = 3 E_{2} \end{eqnarray*}$

Überführen in Koordinatenform

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 2 + 2l x_{2} = 3 + k x_{3} = 2 + k + l \end{eqnarray*}$

k eliminieren

$\begin{eqnarray*} II - III = IV IV: x_{2} - x_{3} = 1 - l \end{eqnarray*}$

l eliminieren

$\begin{eqnarray*} 2*IV + I = E_{2} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 4 \end{eqnarray*}$

Schnittgerade:

$\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E_{2}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2} - 6 = 4 x_{1} + 2x_{2} = 10 x_{1} = - 2x_{3} + 10 \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} x_{2}=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

_______________________________________________________

So, kann mir jemand erklären warum das gemacht wurde?

Warum muss, um die Schnittgerade zu berechnen, der x3 Wert aus der Parameterform von E1 errechnet werden, und dieser x3 Wert dann in die Koordinatenform von E2 eingesetzt werden, um die Schnittgerade zu berechnen?
Hoffe das kann mir jemand erklären.

Und eine weitere Frage:

Was wurde am Ende gemacht, nahdem man x2=t gewählt hat?
Ich seh ehrlich gesagt nicht, wo man das dann eingesetzt hat.

Vielen Dank schon einmal.

21.11.2010, 00:11

Bjoern1982

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Zitat:

Warum muss, um die Schnittgerade zu berechnen, der x3 Wert aus der Parameterform von E1 errechnet werden, und dieser x3 Wert dann in die Koordinatenform von E2 eingesetzt werden, um die Schnittgerade zu berechnen?

Zunächst mal ist "muss" das falsche Wort, es gibt wie so oft immer mehrere Möglichkeiten.
Ich hätte E1 und E2 z.B. direkt gleichgesetzt und damit direkt die Beziehung k+l=1 <=> k=1-l gehabt, wodurch ich recht elementar und schnell durch einsetzen in E2 direkt an meine Schnittgerade gekommen wäre.
Entscheidend ist, dass wenn es um den Schnitt von zwei Objekten geht, dass man diese Objekte (hier 2 Ebenen) miteinander verknüpft.
In deiner geposteten Lösung geschieht diese Verknüpfung darüber, dass man durch die 3 Gleichungen für E1 direkt auf eine Koordinatengleichung für E1 stößt, nämlich x3=3.
Für E2 wird es dann schon etwas aufwändiger eine Koordinatengleichung zu erzeugen.
Wenn man nun also die beiden Ebenen in Koordinatenform vorliegen hat, dann muss man das daraus entstehende LGS allgemein lösen, um an die entsprechende Schnittgerade zu kommen.

Am Ende wird vielleicht deutlicher wie man auf die Gerade kommt wenn man alles ordentlich untereinander schreibt:

$\begin{eqnarray*} x_1=10-2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=0+1t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=3+0t \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 11:30

Lampe16

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@Bjoern1982

Zitat:

Original von Bjoern1982

Ich hätte E1 und E2 z.B. direkt gleichgesetzt und damit direkt die Beziehung k+l=1 <=> k=1-l gehabt, wodurch ich recht elementar und schnell durch einsetzen in E2 direkt an meine Schnittgerade gekommen wäre.

Das ist eine sehr elegante Lösung. Chapeau!

Ich möchte eine Bemerkung zur Aufgabenstellung machen, die sich mehr an die Übungsaufgaben-Autoren wendet: Man kann 10 solche Aufgaben lösen, ohne dass sich dabei ein Weg herauskristallisiert, der für jede Schnittgerade-zweier-Ebenen-Aufgabe funktioniert. Ich wünsche mir auch mal eine Musterlösung, die für jede SzE-Aufgabe funktioniert *). Auch, wenn diese Lösung dann umständlicher ist.

*)von dem Fall abgesehen, dass die Gerade nicht existiert

21.11.2010, 15:37

Whitis

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Zitat:

Ja, diesen Weg habe ich auch in meinem Heft stehen, jedoch als alternative Lösung auh den von mir genannten.
Ich wollte nur auch beide verstehen.

Aber jetzt habe ich glaube ich erst verstanden, was dieses x3 = 3 bedeutet.

Ist also $\begin{eqnarray*} x_{3} = 3 \end{eqnarray*}$ nun die Koordinatenform von der Parameterform $\begin{eqnarray*} E_{1} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , genau wie $\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 4 \end{eqnarray*}$ die Koordinatenform von der Parameterform $\begin{eqnarray*} E_{2} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, richtig?

Sprich, wenn beim Überführen in die Koordinatenform eine der 3 Gleichungen keine Variable wie k, s o.ä. hat, sondern nur ein x3, x2 oder x1 hat, dann ist das automatisch meine Koordinatengleichung für diese Ebene/Gerade?

Nun nur noch die Frage zum letzten Aufgabenabschnitt:

Schnittgerade:

$\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E_{2}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2} - 6 = 4 x_{1} + 2x_{2} = 10 x_{1} = - 2x_{2} + 10 \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} x_{2}=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieso x3 in E2?
Ich kenne es eigentlich nur so, dass man bei der Schnittgeradenberechnung x1, x2 und x3, halt irgendwie durcheinander ausdrückt.
Das geschieht hier ja auch, x1 wird durch x2 ausgedrückt.

Aber wieso muss ich nicht wie normalerweise erst x1, x2 oder x3 eleminieren?

Und was ist passiert, nach dem man x2=t gewählt hat?
Man hat dann ja doch noch keine Werte für x1 und x2 bestimmt, wieso nicht? Und wo wird das eingesetzt, damit da diese Schnittgerade herauskommt?

21.11.2010, 15:51

Bjoern1982

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Zitat:

Ist also $\begin{eqnarray*} x_{3} = 3 \end{eqnarray*}$ nun die Koordinatenform von der Parameterform $\begin{eqnarray*} E_{1} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , genau wie $\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 4 \end{eqnarray*}$ die Koordinatenform von der Parameterform $\begin{eqnarray*} E_{2} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, richtig?

Sprich, wenn beim Überführen in die Koordinatenform eine der 3 Gleichungen keine Variable wie k, s o.ä. hat, sondern nur ein x3, x2 oder x1 hat, dann ist das automatisch meine Koordinatengleichung für diese Ebene/Gerade?

Genau so ist es Freude

Zitat:

Aber wieso muss ich nicht wie normalerweise erst x1, x2 oder x3 eleminieren?

Weil die Koordinatengleichung der anderen Ebene x3=3 lautet und somit schon alles eliminiert ist, mehr kann man da ja nicht mehr machen.
Was man dann eben machen kann und muss ist, dass man x3=3 in die andere Ebene einsetzt, denn wie sonst sollte man E1 und E2 verknüpfen ? Würde man das nicht tun bliebe E2 einfach so stehen und man würde damit nichts anfangen können. Angenommen E2 würde x1+x2=4 lauten, dann würdest du doch auch erst nach einer Koordinate auflösen und das dann in E1 einsetzen. Genau das passiert hier auch, nur dass man glücklicherweise durch x3=3 schon alles aufgelöst hat und somit direkt in E1 einsetzen kann.

Zitat:

Man hat dann ja doch noch keine Werte für x1 und x2 bestimmt, wieso nicht?

Konkrete Werte bestimmt man ja auch nicht, es geht ja nicht um einen SchnittPUNKT sondern um eine SchnittGERADE, welche ja von einem Parameter abhängen wird (das ist das t) und somit aus unendlich vielen Punkten besteht.
An der Stelle wo man x2=t wählt ist man somit schon fertig - warum habe ich dir ja durch das Untereinanderschreiben der 3 Gleichungen gezeigt.

21.11.2010, 16:36

Whitis

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Aber ich verstehe nicht wie man auf diese 3 Gleichungen kommt.

$\begin{eqnarray*} x_1=10-2t \end{eqnarray*}$

Klar, das habe ich durch einsetzen von x3 in E2 und wählen von x2=t herausbekommen.

$\begin{eqnarray*} x_3=3+0t \end{eqnarray*}$

Das ist ja nichts anderes als die Koordinatengleichung von E1 mit x2=t.

$\begin{eqnarray*} x_2=0+1t \end{eqnarray*}$

Nur woher kommt diese Gleichung?
Habe doch nirgendwo dementsprechend umgeformt und weiß auch nicht wie und wo ich das machen könnte.

21.11.2010, 18:20

Lampe16

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Ich meine, Deine Fragen werden sich alle dadurch beantworten, dass ich Dir das allgemeine Schema erkläre, nach dem in der Lösung vorgegangen wurde.
Neben den allgemeinen Term schreibe ich jeweils den speziellen für diese Aufgabe.

Schritt 1
Ebenen von der geg. Parameterform in die Koordinatenform bringen, d. h. alle Parameter eliminieren.
Dann ergeben sich die Ebenen-Gln. i.A. in der Form
$\begin{eqnarray*} a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3=d_1 \end{eqnarray*}$ (1) $\begin{eqnarray*} x_3=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2x_1+b_2x_2+c_2x_3=d_2 \end{eqnarray*}$ (2) $\begin{eqnarray*} x_1+2x_2-2x_3=4 \end{eqnarray*}$
Zur Abkürzung schreibe ich für die vier a-Parameter in (1) $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und entsprechend für die in (2) $\begin{eqnarray*} p_2. \end{eqnarray*}$

Schritt 2
Gl. (1) und (2 ) nach $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ auflösen ergibt
$\begin{eqnarray*} x_3(x_1,x_2,p_1) \end{eqnarray*}$ (3) $\begin{eqnarray*} x_3=3 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} x_3(x_1,x_2,p_2). \end{eqnarray*}$ (4) $\begin{eqnarray*} x3=x_1/2+x_2-4 \end{eqnarray*}$

Schritt 3
Gleichsetzen von (3) und (4) liefert
$\begin{eqnarray*} x_1(x_2,p_1,p_2). \end{eqnarray*}$ (5). $\begin{eqnarray*} x_1=-2x_2+14 \end{eqnarray*}$

Schritt 4
$\begin{eqnarray*} x_1(x_2,p_1,p_2) \end{eqnarray*}$ nach (5) in $\begin{eqnarray*} x_3(x_1,x_2,p_2) \end{eqnarray*}$ nach (4) einsetzen liefert
$\begin{eqnarray*} x_3(x_2,p_1,p_2). \end{eqnarray*}$ (6) $\begin{eqnarray*} x_3=3 \end{eqnarray*}$

Schritt 5
$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ umbenennen
Dann ergibt sich
$\begin{eqnarray*} x_1=x_1(t,p_1,p_2) \end{eqnarray*}$ aus (5) $\begin{eqnarray*} x_1=14-2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=x_3(t,p_1,p_2) \end{eqnarray*}$ aus (6) $\begin{eqnarray*} x_3=3 \end{eqnarray*}$
Fertig ist die Schnittgerade.

Das Spezielle an dieser Aufgabe ist, dass Ebene 1 durch $\begin{eqnarray*} x_3=3 \end{eqnarray*}$ vollständig beschrieben ist. Der Eliminierungsschritt entfällt und einige der allgemeinen Terme sind hier ohne Rechnung angebbar.

Vielleicht erscheint Dir das Schema für diesen Fall umständlich. Reizvoll ist aber, dass Du damit die Ebenen-Schnittgerade in jedem Fall bestimmen kannst - und eben auch in diesem hier.

21.11.2010, 18:52

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_2=0+1t \end{eqnarray*}$

Nur woher kommt diese Gleichung?
Habe doch nirgendwo dementsprechend umgeformt und weiß auch nicht wie und wo ich das machen könnte.

Wenns nur daran scheitert dann kannst du dir dieses Umbenennen auch sparen und das ganze so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} x_1=10-2x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=0+1x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=3+0x_2 \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 18:56

Whitis

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Ich verstehe aber immer noch nicht, wie man auf $\begin{eqnarray*} x_2=0+1x_2 \end{eqnarray*}$ bzw auf $\begin{eqnarray*} x_2=0+1t \end{eqnarray*}$ kommt? Woher nimmst du das Bjoern1982?

@Lampe16

Tut mir Leid, aber von deinem Post verstehe ich absolut gar nichts. Nicht im geringsten.

21.11.2010, 19:03

Lampe16

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Zitat:

Original von Whitis
@Lampe16
Tut mir Leid, aber von deinem Post verstehe ich absolut gar nichts. Nicht im geringsten.

Macht nichts, war ein Versuch. Bjoern1982 wird Dich schon auf Trab bringen.

21.11.2010, 19:03

Bjoern1982

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Ich habe bzw du hast x1 doch durch x2 ausgedrückt.
Nun ist es mein Ziel x2 und x3 auch durch x2 (oder nur durch eine Konstatnte) auszudrücken.
x2=x2 ist nichts anderes als eine wahre Aussage und damit man alles schön untereinander stehen hat und die Gerade direkt schön ablesen kann, hab ich $\begin{eqnarray*} x_2=0+1x_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Und wenn dir das trotzdem noch etwas spanisch vorkommt dann geh einfach von diesen beiden Gleichungen aus:

$\begin{eqnarray*} x_1=10-2x_2 \end{eqnarray*}$

x3=3

Das dürfte ja klar sein, wie man auf diese Gleichungen kommt, oder ?

Nun überlege dir einfach 2 Werte für x2, so dass du im Endeffekt an 2 Punkte kommst und aus diesen 2 Punkten machst du dann wie gewohnt deine Parametergleichung für die Gerade.

21.11.2010, 19:22

Whitis

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Naja x3=3 haben wir ja als Koordinatenform von E1, denke daher haben wir das dann auch übernommen, richtig?

Aber dass das einfach x2=x2 und das dann einfach x2=t ist.., das ist ja unglaublich simpel.
Da wär ich ehrlich gesagt im Leben nicht drauf gekommen.

Vielen Dank für die Hilfe!

21.11.2010, 19:31

Bjoern1982

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Zitat:

Naja x3=3 haben wir ja als Koordinatenform von E1, denke daher haben wir das dann auch übernommen, richtig?

Ja, wir hatten halt Glück, dass wir durch x3=3 direkt schon unser Ziel

Zitat:

...x2 und x3 auch durch x2 (oder nur durch eine Konstatnte) auszudrücken.

erfüllt hatten.

Zitat:

Da wär ich ehrlich gesagt im Leben nicht drauf gekommen.

Viele finden das etwas seltsam, auch dieses untereinander schreiben der Gleichungen.
Mein Mathelehrer früher hat mir das mit dem Untereinander schreiben früher eingetrichtert und ich habe es dann so übernommen, weil man die Lösung damit eben direkt vor Augen hat. Einfach x2=x2 zu verwenden ist dann ein "zweckmäßiger Trick" bei der ganzen Sache um unser obiges Ziel zu erreichen smile

21.11.2010, 19:54

Whitis

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Mir fällt gerade um so mehr auf: Ich hatte einen sehr blöden Moment.

Ich schreibe es ja selbst auch untereinander.

Sprich:

Wähle x2 = t
x3 = -2t + 10
x1= 3

Sprich da steht ja schon das x2 gleich t ist. Und normalerweise, bei allen Aufgaben zuvor, hab ih das dann auch in die neue Geradengleichung übernommen.

Nur irgendwie bei dieser Aufgabe hatte ich den totalen Hänger, ich mein, da steht ja das x2 gleich t ist.. Ich kann es nicht oft genug sagen, es ist so logisch und so wurds immer gemacht, aber ich hatte einfach einen sehr sehr dummen Moment.

Vielen Dank noch einmal.

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