Konvergenz/Divergenz von Folgen

20.11.2010, 23:41

bbb_andi

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Konvergenz/Divergenz von Folgen

Hallo,

ich habe zu einer Aufgabe die Frage, ob mein Beweis in folgender Form richtig ist:

Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ \{0} sei rekursiv definiert durch
$\begin{eqnarray*} a_1 = \sqrt2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{2+{a_n}} \end{eqnarray*}$ für n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ \{0}
Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie ggfalls den Grenzwert.

Meine Idee:
Da die Wurzelterme immer >0 sind, ist
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+a_n} \geq a_n \end{eqnarray*}$ quadrieren ergibt

$\begin{eqnarray*} 2+a_n \geq {a_n}^2 \end{eqnarray*}$ umordnen ergibt

$\begin{eqnarray*} 0 \geq {a_n}^2-a_n-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \geq ({a_n}-2)({a_n}+1) \end{eqnarray*}$

Das stimmt ja nur für $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n \leq 2 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0, da Wurzelterm)

Also geht die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen 2.

Ich glaube/befürchte, dass man das so nicht zeigen darf (schien mir irgendwie zu leicht); könnt ihr mir da vielleicht helfen?

20.11.2010, 23:55

Iorek

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RE: Konvergenz/Divergenz von Folgen

Zitat:

Original von bbb_andi
Da die Wurzelterme immer >0 sind, ist
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$ bzw.

Das gilt doch nicht, weil die Wurzelterme immer größer 0 sind. geschockt

geschockt

Zeige dass die Folge monoton und beschränkt ist, daraus folgt direkt die Konvergenz.

21.11.2010, 00:06

bbb_andi

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RE: Konvergenz/Divergenz von Folgen
Naja ich meinte damit, dass
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$
gilt, weil in der Voraussetzung steht, dass
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$ ist.

Hmm...also stimmt der Beweis nicht, okay.

Aber zeigt man Monotonie nicht durch
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2010, 00:10

Iorek

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Es mag ja durchaus so da stehen, aber die Monotonie folgt damit noch lange nicht.

Ja, Monotonie zeigt man über $\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , entweder per Induktion oder wenn möglich auch direkt.

21.11.2010, 00:12

bbb_andi

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Okay, dann hänge ich an der Stelle aber. ich habe gedacht, ich könnte das so wie in meinem Startpost beweisen. Aber anscheinend stimmt das nicht. Ich komme leider auch auf keine andere Idee mehr...hast Du vielleicht einen kleinen Ansatz?:/

21.11.2010, 00:17

Iorek

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Zur Not kannst du die Monotonie mit vollständiger Induktion nachweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Da ich nicht mehr lange online bin, nach der Monotonie und Beschränktheit kann man den Grenzwert bestimmen, eine ähnliche Aufgabe findet sich hier.

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22.11.2010, 16:10

andi_bbb

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Sorry für die späte Reaktion.
Stimmt denn nun mein Induktionsbeweis?

Induktionsanfang für n=1:
$\begin{eqnarray*} a_2 = \sqrt{2+a_1} = \sqrt{2+\sqrt{2}} \geq a_1 \end{eqnarray*}$
Schritt: von n auf n+1
Induktionsannahme: $\begin{eqnarray*} a_n \geq a_{n-1} \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges, festes n, mit $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{2+a_{n-1}} \end{eqnarray*}$
z.z.: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$

Ausführung:
Verwendung der IA:
$\begin{eqnarray*} a_n \geq a_{n-1} \end{eqnarray*}$ addiere 2
$\begin{eqnarray*} a_n + 2 \geq a_{n-1} + 2 \end{eqnarray*}$ ziehe Wurzel
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a_n + 2} \geq \sqrt{a_{n-1} + 2} \end{eqnarray*}$ was nichts anderes ist als (Vor., I.A.)
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Falls ja, wie weise ich nun die Beschränktheit nach?
Muss ich da mit Epsilon arbeiten?

Wäre nett, wenn wieder jemand helfen könnte.

22.11.2010, 16:35

Iorek

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Die Beschränktheit lässt sich auch mit Induktion beweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 17:02

andi_bbb

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okay, dann werde ich das so machen, aber mir kam da noch eine Idee für den direkten Beweis:
Die Folge ist ja nun monoton (steigend)
Angenommen die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ wäre beschränkt mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ .

Dann wäre
a = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2+a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt2 + \lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt2 + a \end{eqnarray*}$ ,
das wäre ja dann ein Widerspruch also ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ unbeschränkt.

geht das so? smile

smile

22.11.2010, 17:03

Iorek

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Zitat:

Original von andi_bbb
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{2+a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt2 + \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ ,

Guck dir bitte diesen Schritt nochmal ganz genau an...

22.11.2010, 17:15

andi_bbb

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tsss ist mir da tatsächlich die Wurzel runtergefallen>.<

es käme dann $\begin{eqnarray*} a= \sqrt2 + \sqrt a \end{eqnarray*}$ raus, was mir nicht weiterhilft (oder etwa doch?)

Ansonsten probiere ich mal die gute alte Induktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 19:05

Iorek

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Dann überleg dir doch bitte mal, ob $\begin{eqnarray*} \sqrt{2+a}=\sqrt 2 +\sqrt a \end{eqnarray*}$ wirklich stimmen kann. unglücklich

unglücklich

22.11.2010, 21:41

andi_bbb

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ah, das stimmt nur für a=0...i.A. also falsch.

richtig wäre dann:
$\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$

Frage: kann man dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2+a} \end{eqnarray*}$ ?

das kann man ja dann leicht lösen. Stimmt das?

22.11.2010, 22:27

Iorek

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Darauf läuft es am Ende hinaus, aber die Rechnung darfst du eigentlich erst machen, wenn du die Konvergenz nachgewiesen hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 23:58

andi_bbb

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Die Konvergenz habe ich mit Induktion bewiesen:

Beh.: $\begin{eqnarray*} a \geq \lim_{n \to \infty} \sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$

Ind.Anfang für n_0 = 1:
$\begin{eqnarray*} a \geq =a_1 = \sqrt2 = min(a_n) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist.

Schritt von n nach n+1

Ind.Annahme: $\begin{eqnarray*} a \geq \lim_{n \to \infty}a_n \end{eqnarray*}$ für ein bel. aber festes n aus IN\{0}

z.z.: $\begin{eqnarray*} a \geq \lim_{n \to \infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist aber gleich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_{n} \end{eqnarray*}$

also verwenden der IA: $\begin{eqnarray*} a \geq \lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Stimmt denn nun das?:/

Dann wäre Konvergenz bewisen und ich könnte das oben genannte anwenden.

23.11.2010, 00:02

Iorek

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Nein, du musst das nicht für den Limes zeigen, du musst zeigen, dass eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n\leq c \end{eqnarray*}$ ist.

Du musst das noch nichtmal für allgemeines $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beweisen, es reicht völlig aus, wenn du dir konkret eine (passende) Zahl aussuchst, und es für diese Zahl nachweist.

23.11.2010, 00:08

andi_bbb

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ah okay, dann ist es klar. dann bedanke ich mich vielmals für deine Hilfe smile

smile

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