2 Matrizen mit unbekannter Dritter multiplizieren

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21.11.2010, 02:08	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Matrizen mit unbekannter Dritter multiplizieren Meine Frage: Hallo an alle! Im Zuge eines Tutoriums muss ich wieder eine Aufgabe lösen, die mich rätseln lässt. Gegeben sind 2 Matrizen, die, multipliziert mit einer Dritten, eine 3x2 Nullmatrix ergeben sollen. Im Klartext: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * X * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Von welchem Typ (Anzahl Zeilen/Spalten) muss die Matrix X über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sein, damit die folgende Gleichung sinnvoll ist. Bestimmen Sie dann die Menge aller Matrizen, die dieser Gleichung genügen. Hinweis: Auf der rechten Seite der Gleichung steht die 3 x 2-Nullmatrix.) Meine Ideen: Vorweg scheinen mir manche Regeln der Matrizenmultiplikation nicht ganz klar zu sein. Soweit ich weiß, muss bei der Multiplikation von 2 Matrizen die Zeile der Matrix A genausolang wie die Zeile der Matrix B sein... soweit sogut. Das würde also z.B. eine $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x & y \\ a & b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erfüllen. Nur stimmt jetzt die Zeilenlänge meiner Matrix X nicht mehr mit der Spaltenlänge der Matrix C überein. Ab jetzt weiß ich nicht mehr, welche Regeln da noch greifen könnten. Zum Beispiel inwiefern man einfach "gekippte" Matrizen benutzen darf oder sonstwas. Ich muss ja auch noch im Hinterkopf behalten, dass eine 3x2 Nullmatrix am ende rauskommen soll.. Kann mir jemand bitte irgendwelche Regelnamen oder Anstöße nennen, nach denen ich recherchieren kann? Irgendwie beziehen sich alle Internetanleitung bzgl. der Matrixmultiplikation immer nur auf 2 Matrizen. Vielen Dank im Vorraus!
21.11.2010, 02:31	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nenn mal ein paar meiner weiteren Fragen bzw. Hoffnungen/Unklarheiten: Inwiefern kann man einer Matrix einfach eine 0 anhängen? Oder anders gefragt: Wenn die Zeilenlänge einer Matrix nicht mit der Spaltenlänge einer anderen Matrix übereinstimmt, wie "löst" man dieses Hindernis, um sie multiplizieren zu können? Was mich bei meiner Aufgabe so wundert ist eben auch, dass der Aufgabenwortklang auf mich den Eindruck macht, dass ich einzig die Matrix X verändern darf und nicht z.b. Inverse Matrizen von den anderen bilden darf.
21.11.2010, 10:01	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Größe der Matrix X richtig wählst, dann kann man die Matrizen auch miteinander multiplizieren. Stelle die Matrix X allgemein auf, und schaue welche Gleichungen sich ergeben
21.11.2010, 10:04	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 Matrizen mit unbekannter Dritter multiplizieren -- zu spät
21.11.2010, 12:07	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, genau das ist ja mein Problem. Ich dachte zuerst, es müsste eine $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Matrix sein, aber dann kriege ich nicht die 3x2 Nullmatrix, wenn ich sie mit der Dritten multipliziere. Dafür bräuchte ich wiederrum ne 3x3 Matrix, aber dann würde die Zeilenlänge von der ersten Matrix nicht mehr mit der Spaltenlänge der X-Matrix übereinstimmen. Ich kenne einfach glaube nicht die Regeln, nach denen man so einen Konflikt lösen kann..
21.11.2010, 12:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplizierst du eine a x b Matrix mit einer c x d Matrix so muss b=c sein. Jetzt hast du hier also eine 3x2 Matrix multipliziert mit einer y x z Matrix und diese multipliziert mit einer 3x2 Matrix. Was muss also y und z nach der Regel sein?
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21.11.2010, 13:12	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich dachte, das hätte ich bereits beachtet? Was du gerade geschrieben hast, war doch nur die Regel "Die Spalten der ersten Matrix müssen so lang wie die Zeilen der Zweiten sein", was ich doch eigentlich berücksichtigt hatte. Die erste Matrix hat 2 Einträge pro Zeile und meine unbekannte Matrix hat 2 Einträge pro Spalte. Das Problem gibt sich ja besonders später: Meine unbekannte Matrix hat bisher 3 Einträge pro Zeile, die dritte Matrix hat 3 Einträge pro Spalte. Insofern auch kein Problem, aber das gewollte Produkt hat 3 Einträge pro Spalte und meine würde nur 2 liefern.
21.11.2010, 14:10	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok glaube, ich habe es nun doch gelöst. Ich hatte wohl nur nen Denkfehler/habe etwas vertauscht. Danke trotzdem
21.11.2010, 14:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle: Eine 2x3 Matrix löst das ganze, wie man nach der Regel oder beim Ausmultiplizieren leicht sieht.
21.11.2010, 14:43	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich mir nochmal eine zweite Meinung geholt und die widerspricht meiner. Also schreib ich mal auf, was ich dachte, die prinzipielle Gleichung gewesen wäre: Vorsicht, es wird etwas groß, weil ich es möglichst genau aufschreiben wollte. Ich befürchte nämlich, mich irgendwo verhaspelt zu haben.. Also prinzipiell bleibe ich bei meiner 2 Zeilen, 3 Spalten Matrix als Unbekannte. D.h. wir haben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ a & b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1x+4a) & (1y+4b) & (1z+4c) \\ (2x+5a) & (2y+5b) & (2z+5c) \\ (3x+6a) & (3y+6b) & (3z+6c) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun müssen wir die jedoch nochmal mit der $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multiplizieren. Das ergibt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (1x+4a)1+(1y+4b)0+(1z+4c)1 & (1x+4a)0+(1y+4b)1+((1z+4c)0 \\ (2x+5a)1+(2y+5b)0+(2z+5c)1 & (2x+5a)0+(2y+5b)1+(2z+5c)0 \\ (3x+6a)1+(3y+6b)0+(3z+6c)1 & (3x+6a)0+(3y+6b)1+(3z+6c)0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Und das Ganze soll uns jetzt ne 3x2 Nullmatrix liefern.. Stimmt das soweit?
21.11.2010, 15:00	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt soweit
21.11.2010, 18:34	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke. Als letzte Frage: Mich verwirrt in der Fragestellung etwas die Formulierung "geben Sie die Menge aller Matrizen an, die dieser Gleichung genügen" Was genau soll man da machen? Ich habe ja die Unbekannten bereits genannt und wie man sie berechnen muss. Kann man jetzt einfach antworten, dass es die Menge aller Matrizen ist, die eben diese Unbekannte besitzt und sie so verrechnen kann, dass am ende eben 0 rauskommt? Also ich glaube mir fehlt vor allem eine exakte Idee, wie genau ich das nun als Menge formulieren soll.
21.11.2010, 18:41	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja du könntest jetzt einmal das Gleichungssystem das dasteht lösen.
21.11.2010, 18:54	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach unbekannten auflösen? argh.. Also ich hab das bisher innen Rechner versucht zu kloppen, aber er hatte nicht genug Platz, um alle Gleichungen aufzunehmen. Bisher sagt er mir nur, dass c=-a, y=-4b und z=-x sei Kann ich damit jetzt schon die Menge bestimmen? Also es sei eine 2x3 Matrix, wobei c=-a, y=-b und z=-x sei?
21.11.2010, 18:58	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann frag halt keinen Rechner... Man sieht direkt, dass b=y=0 gelten muss. Es bleiben 3 Gleichungen übrig, die kann man locker von Hand lösen
21.11.2010, 19:00	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Woran sieht man das jetzt genau direkt?
21.11.2010, 19:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nenn es Erfahrung oder ähnliches Da die linke Seite der Matrix und die rechte der Matrix "unabhängig" sind, sieht man das eben. Aber du kannst es ja ausrechnen
21.11.2010, 19:14	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
hä Hat es damit zu tun, dass die y und b Klammern auf der rechten Seite als einzige Klammer mit 1 multipliziert werden, während die x,a und z,c Klammern immer gemeinsam mit 1 oder 0 multipliziert werden? Müssen a,x und z,c nicht auch = 0 sein? Also insgesamt eine 2x3 Nullmatrix?
21.11.2010, 19:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, sie müssen nicht 0 sein. Aber sie können 0 sein
21.11.2010, 19:23	Johnny Johnson	Auf diesen Beitrag antworten »
Nagut, dann lös ichs halt.. Aber nochmal wegen der "man sieht direkt" Sache: Was genau meintest du mit Unabhängigkeit? Unabhängig im sinne von Linearkombination?

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