Die Existenz einer Umkehrfunktion beweisen

16.11.2006, 02:38

nitric

Die Existenz einer Umkehrfunktion beweisen

Hallo,

Eine reelle Funktion:
1. Aufgabenteil: strenge Monotonie im D(f) zeigen
2. Beweis, dass eine Umkehrfunktion existiert

Wie soll ich den 2. Teil anstellen wenn ich Monotonie gezeigt habe, ist doch eigentlich alles geklärt oder?

Wie soll ich sonst Injektivität beweisen???

lg - nitric

16.11.2006, 02:48

sqrt(2)

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RE: Die Existenz einer Umkehrfunktion beweisen

Zitat:

Original von nitric
Wie soll ich den 2. Teil anstellen wenn ich Monotonie gezeigt habe, ist doch eigentlich alles geklärt oder?

Surjektivität.

Zitat:

Original von nitric
Wie soll ich sonst Injektivität beweisen???

Das hast du schon, da hast du recht.

16.11.2006, 03:53

nitric

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Ich hätte vielleicht eine Idee:

Wenn ich die Umkehrfunktion ermittle und folgendes zeigen kann:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x)) = x \end{eqnarray*}$

Dann sollte dies doch direkt beweisen, dass es eine Umkehrfunktion gibt... ^^

16.11.2006, 05:29

sqrt(2)

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Wenn du zusätzlich auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray*}$ zeigst, ja.

16.11.2006, 17:52

nitric

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Wenn du zusätzlich auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray*}$ zeigst, ja.

Hast du einen Tipp wie ich das nun anstelle?

16.11.2006, 17:56

Mathespezialschüler

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Einfach einsetzen, genauso wie bei $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x))=x \end{eqnarray*}$ vielleicht?! Zeig am besten mal das Beispiel, also die gegebene Funktion!

Gruß MSS

16.11.2006, 20:18

nitric

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Einfach einsetzen, genauso wie bei $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x))=x \end{eqnarray*}$ vielleicht?! Zeig am besten mal das Beispiel, also die gegebene Funktion!
Gruß MSS

Ach, ich dachte ich muss jetzt ganz tief ans Eingemachte gehen... Hammer

Für diese reelle Funktion ist die Umkehrfunktion zu bilden (beweisen?):
$\begin{eqnarray*} h(x) = (x^2 + 1)^2 \qquad D(h) = [0, \infty) \qquad B(h)=[1,\infty) \end{eqnarray*}$

Umkehrfunktion bauen:
$\begin{eqnarray*} x = (y^2 + 1)^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = (y^2 + 1) \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} - 1= y^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\sqrt{x} - 1} = y \end{eqnarray*}$

Die Umkehrfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} h^{-1}(x)=\sqrt{\sqrt{x} - 1} \qquad D(h^{-1})=[1,\infty) \qquad B(h^{-1}) = [0,\infty) \end{eqnarray*}$

Umkehrfunktion Beweisen / Zeigen:
$\begin{eqnarray*} h(h^{-1}(x))= ((\sqrt{\sqrt{x} - 1})^2 + 1)^2 = (\sqrt{x} -1 +1)^2 = (\sqrt{x})^2 = \underline{x} \end{eqnarray*}$

16.11.2006, 20:25

sqrt(2)

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Zitat:

Original von nitric
$\begin{eqnarray*} h(h^{-1}(x))= ((\sqrt{\sqrt{x} - 1})^2 + 1)^2 = (\sqrt{x} -1 +1)^2 = (\sqrt{x})^2 = \underline{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{a}\right)^2=|a| \end{eqnarray*}$ . Dass das hier gleich a ist, musst du jeweils noch begründen. Außerdem fehlt der Nachweis von $\begin{eqnarray*} h^{-1}\circ h=\operatorname{id}_{[0,\infty)} \end{eqnarray*}$ .

16.11.2006, 20:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von sqrt(2)
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{a}\right)^2=|a| \end{eqnarray*}$ .

Ja, aber es gilt auch
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{a}\right)^2 = a. \end{eqnarray*}$

16.11.2006, 20:48

sqrt(2)

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ja, aber es gilt auch
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{a}\right)^2 = a. \end{eqnarray*}$

I.A. nein. Und dass es hier gilt, habe ich ja nicht bezweifelt, im Gegenteil.