konvergenz von geometrischen reihen

21.11.2010, 11:19

schüll

konvergenz von geometrischen reihen

Meine Frage:
Hallo,

ich muss für meine Hausarbeit in Mathe einige Beispielübungen lösen. Leider komme ich nicht weiter. Helft mir also bitte, bitte. Es ist dringend!

Aufgabe:
Bestimme den Grenzwert der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ :
a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 2*(-\frac{1}{4} ) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{3} *2^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also, die Konvergenz von geo. Reihen für |q|<1 kann man mit dieser Formel: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
d.h. bei einer "normalen" Formel, wie
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{5})^{k} \end{eqnarray*}$
kann ich den Grenzwert einfach durch einsetzen bestimmen, d.h.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{5})^{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1-\frac{1}{5} }) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mir gedacht, dass ich z.b. bei der a) das nicht anders mache, d.h.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 2*(-\frac{1}{4} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(\frac{1}{4} )}*2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{8}{5} \end{eqnarray*}$

bei der b) also folglich nach meiner Idee:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{3} *2^{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-2} *\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

bei der b)habe ich aber laut einem Schaubild der Funktion einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ erkannt.

Es würde mich sehr sehr freuen, wenn ich so schnell wie möglich eine antwort erhalte.
daaaanke,
j.

21.11.2010, 12:31

klarsoweit

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RE: konvergenz von geometrischen reihen
zu a: das ist keine geometrische Reihe, da die Summanden nicht die Form q^k haben.

zu b: ist da |q| < 1 erfüllt?
Es sollte dir auch merkwürdig vorkommen, daß eine Reihe mit positiven Summanden einen negativen Grenzwert haben soll.

21.11.2010, 12:47

schüll

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RE: konvergenz von geometrischen reihen
uuuups, hab da natürlich etwas vergessen. sollte nämlich
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=o}^\infty 2*(-\frac{1}{4} )^{k} \end{eqnarray*}$
heißen.

zu b)
nach dem du mich darauf hingewiesen hast, ist |q|<1 nicht erwiesen? muss ich da also ein anderes konvergenzkriterium anwenden?
heißt das, dass b) eine Nullfolge ist? Weil nach |q|>1 divergiert eine reihe nicht.

21.11.2010, 14:19

klarsoweit

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RE: konvergenz von geometrischen reihen
OK, dann ist Aufgabe a richtig.

zu b: siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisch...etrischen_Reihe

Was ist jetzt das q bei dir?

21.11.2010, 15:06

schüll

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RE: konvergenz von geometrischen reihen
Laut wikipedia divergiert also b), d.h. sie hat keinen grenzwert, da |q|>1 gilt.
Stimmt meine Schlussfolgerung dann?

Danke schonmal smile

21.11.2010, 17:28

klarsoweit

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RE: konvergenz von geometrischen reihen

Zitat:

Original von schüll
Laut wikipedia divergiert also b), d.h. sie hat keinen grenzwert, da |q|>1 gilt.

Richtig.

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konvergenz von geometrischen reihen

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