Sandwich Lemma

21.11.2010, 10:58

ich1000

Sandwich Lemma

Meine Frage:
Hallo!
Ich soll die folgende Folge auf Konvegenz untersuchen und ggf. den Grenzwert angeben.
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ so umgeformt, dass da
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ steht.
Jetzt weiß ich noch nicht so genau, wie ich jetzt vorgehe um ein geeignetes $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ zu finden.
Kann ich jetzt z.B. einfach sagen:
$\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} c_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
???

Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ wäre ja 0 - und von $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ auch, oder?
Das müsste ich dann allerdings bestimmt auch noch irgendwie zeigen...

Ist den was Wahres an meinen Aussagen?

Danke schonmal!

21.11.2010, 11:28

klarsoweit

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RE: Sandwich Lemma

Zitat:

Original von ich1000
Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ wäre ja 0 - und von $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ auch, oder?

Eigentlich geht man an die Sache anders ran. Du mußt 2 Folgen b_n und c_n mit $\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \end{eqnarray*}$ finden, deren Grenzwerte du kennst und die gleich sind.

In diesem Fall bieten sich b_n = 0 und $\begin{eqnarray*} c_n = \frac{1}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ an, vorausgesetzt, daß du den Grenzwert von c_n kennst.

21.11.2010, 11:39

ich1000

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RE: Sandwich Lemma
Ja, dankesehr- da war ich jetzt auch gerad dabei mich ranzutasten! Augenzwinkern

Was heißt, dass ich den Grenzwert kenne?
Das kam schonmal in einer Aufgabe vor, die ich verwenden darf-
Da stand am Ende aber
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < epsilon <=> n > \frac{1}{epsilon^{2} } \end{eqnarray*}$ ==> was sagt mir das denn? Kann ich daraus schließen, dass der Grenzwert 0 ist??

21.11.2010, 11:41

ich1000

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RE: Sandwich Lemma
wobei der erste Teil:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < epsilon \end{eqnarray*}$
nur heißen sollte, es SOLL kleiner Epsilon sein (wenn ich das richtig verstanden hab).

21.11.2010, 13:14

klarsoweit

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RE: Sandwich Lemma

Zitat:

Original von ich1000
Da stand am Ende aber
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < epsilon <=> n > \frac{1}{epsilon^{2} } \end{eqnarray*}$ ==> was sagt mir das denn?

Das solltest du dir nochmal die Grenzwertdefinition anschauen. Es sagt dir, daß du zu jedem epsilon ein n_0 findest, so daß für n mit n > n_0 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von ich1000
Kann ich daraus schließen, dass der Grenzwert 0 ist??

Ja.

21.11.2010, 14:01

ich1000

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RE: Sandwich Lemma
okay, dankeschön!
Ja, ich muss mir das alles nochmal angucken... ich blick noch nicht so ganz durch...

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