Bestimmung einer Variable bei Reihen für Konvergenz |
| 21.11.2010, 14:44 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Bestimmung einer Variable bei Reihen für Konvergenz ich habe eine Aufgabe mit der folgenden Aufgabenstellung: Für welche x element R konvergieren die folgenden Reihen? Nun habe ich eben zwei Reihen gegeben mit X. Wie finde ich nun allgemein Konvergenz heraus, absolute Konvergenz kann man ja noch problemlos berechnen und x definieren, das notwendige Kriterium für Konvergenz ist auch kein Problem, aber normale Konvergenz, da habe ich keine wirkliche Idee. Hoffe jemand kann mir helfen. Grüße faulix |
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| 21.11.2010, 14:49 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe auch keine wirkliche Idee. Vielleicht kommt die mir, wenn du die Aufgabe hier reinstellst 
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| 21.11.2010, 14:57 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für welche x element R konvergieren die folgenden Reihen? a) Das kann ich zu folgendem umformen: b) Konkrete Ideen habe ich wie gesagt nur für absolute Konvergenz oder das notwendige Kriterium, sonst habe ich bisher keine Ideen. |
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| 21.11.2010, 15:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du berechnest einfach den Konvergenzradius, d.h. wo die Reihen absolut konvergieren und betrachtest dann die Randpunkte einzeln. |
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| 21.11.2010, 15:14 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das scheitert es scheinbar bei mir daran, den genauen Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz zu kennen. Ich dachte absolute Konvergenz ist einfach die einseitige Näherung an einen Grenzwert und bei einfacher Konvergenz darf es auch von zwei Seiten sein (alternierend). Kann mich da vielleicht jemand genauer aufklären? |
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| 21.11.2010, 16:10 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab nun gelesen, dass eine Reihe absolut konvergent ist, wenn die Reihe mit den Beträgen der Glieder auch konvergent ist. Bedeutet das, dass jede nicht alternierende Reihe automatisch absolut konvergent ist, wenn sie konvergent ist? Was für meinen Beispiel ja bedeuten würde, dass wenn meine Reihe nicht alterniert, dass sie für die gleichen X-Werte konvergent ist für die sie auch absolut konvergent ist? Denn sobald eine Reihe nicht alternierend ist, dann ist ja automatisch der Betrag der Glieder gleich dem Glied selbst, also ohne unterschied. |
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| 21.11.2010, 16:40 | WD25 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann niemand weiter helfen. |
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| 21.11.2010, 18:16 | DerKoso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hey du musst zu erst denn konvergenzradius berechnen dann musst du die randpunkte einzeln betrachten sprich : dann sind die randpunkte (-r;r) und die Konvergenz ist dazwischen und was uber denn randpunkten ist ist Divergent also meine die werte für X ein tipp schau mal nach Potenzreihen |
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| 22.11.2010, 11:12 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir ist Konvergenzradius bisher nicht bekannt gewesen, daher habe ich mal die Wikipediadefinition (http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius) gelesen. Leider ist diese mir zu 100% nicht schlüssig. Was ist hiermit gemeint "| x − x0 | < r "? Wofür steht x und wofür x0? Dieser Teil erschließt sich mir auch nicht sofort: Wenn ab einem bestimmten Index alle an von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch berechnet werden. Kann mir das noch einmal jemand in anderen Worten erklären? |
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| 22.11.2010, 11:26 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst hier auch die Partialsummen berechnen und dann eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Die geometrische Summenformel und das Cauchyprodukt sind dabei nützlich. |
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| 22.11.2010, 11:31 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe nun für die Aufgabe b) folgenden Weg eingeschlagen: Die Reihe ist alternierend somit habe ich das Leibnitz-Kriterium angesetzt. Nun habe ich bnx untersucht, das ja laut dem Leibnitskriterium 0 sein muss. Dabei habe ich herausgefunden, dass das Produkt nur dann 0 wird, wenn x=0 oder x=1 ist. Somit sind das die einzigen zwei Werte, die angenommen werden dürfen. Ist das richtig? |
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| 22.11.2010, 11:57 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist falsch. Da alterniert nämlich nichts. Nochmal: Beide Reihen lassen sich mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen. Darüberhinaus kannst Du hier die Werte der Partialsummen jeweils sogar explizit angeben und damit die Konvergenzfrage klären und im Konvergenzfall sogar den jeweiligen Grenzwert angeben. |
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| 22.11.2010, 12:34 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wenn ich das Quotientenkriterium anwende erhalte ich doch nur absolute Konvergenz und keine Aussage über die normale Konvergenzt, oder? |
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| 22.11.2010, 12:47 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Absolute Kgz impliziert Kgz im gewöhnlichen Sinn. Du musst dann natürlich schon noch checken ob außerhalb des festgestellten Bereichs absoluter Kgz noch Kgz im gewöhnlichen Sinne vorliegen kann. |
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| 22.11.2010, 12:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deswegen muß man die Randpunkte des Konvergenzintervalls separat untersuchen. |
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| 22.11.2010, 12:50 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Absolute Konvergenz liegt vor, wenn der Betrag der Folgen auch konvergent ist oder? Ich verstehe das so, dass das dann nur bei alternierenden Reihen eine Rolle spielt oder habe ich da etwas falsch verstanden? |
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| 22.11.2010, 12:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Häufig ja, man kann sich aber noch andere Gemeinheiten ausdenken wie .
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| 22.11.2010, 13:01 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja im Grunde macht das Sinus ja auch nichts anderes wie das Ganze zum alternieren zu bringen. Nur eben nicht auf eine ganz so einfache Weise. |
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| 22.11.2010, 14:20 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab noch zwei Aufgaben: Für welche x konvergieren die folgenden Reihen? a) Jetzt habe ich gesagt, dass es eine geometrische Reihe ist und für Konvergenz der Betrag von q kleiner als 1 sein muss. Dann betrachte ich noch die Ränder. Also ist die Reihe für -e-1 < x <= e+1 konvergent. Stimmt das so? b) Hier habe ich derzeit keine brauchbare Idee. Der zweite Teil des Produktes ist eine geometrische Reihe, der 1. Teil jedoch nicht. Er ist auch nicht konstant, sodass ich ihn rausziehen könnte. Ein Lösungstipp für mich? |
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| 22.11.2010, 14:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Richtig ist: -e + 1 < x < e+1 Zu b: wende das Quotienten- oder das Wurzelkriterium an. Tipp: achte darauf, daß die obere Grenze der Summen nicht gleich der Laufvariablen ist. EDIT: korrigiert |
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| 22.11.2010, 14:29 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach deinem "Richtig ist:" kommt nichts. Aber mir ist aufgefallen, dass die obere Grenze <= sein muss. Ansonsten fällt mir derzeit nichts auf. Bei Aufgabe b) wird das aber etwas kompliziert, da dass Quotienten- und Wurzelkriterium nur absolute Konvergenz hergeben. Da aber x auch negativ werden kann hätte ich einen alternierenden Teil und der Bereich für absolute Konvergenz wäre nicht zwangsweise genau der gleiche für normale Konvergenz. Oder sehe ich das falsch? |
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| 22.11.2010, 14:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab's korrigiert. Und die Grenze muß < sein.
Wenn du weißt, wo absolute Konvergenz ist, brauchst du nur noch die restlichen Bereiche untersuchen. Von daher hilft das schon weiter. |
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| 22.11.2010, 14:53 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie funktioniert das in diesem Fall konkret? |
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| 22.11.2010, 14:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt: wende eins der Kriterien an. |
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| 22.11.2010, 15:02 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann erhalte ich, dass der Grenzwert der Betrag von x ist. Denn ich hab folgendes: Also konvergiert die Reihe absolut für -1 < x < 1 ? Also muss ich nun für normale Konvergenz noch zusätzlich x=-1 und x=1 betrachten? |
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| 22.11.2010, 15:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig.
Ja. Genau genommen auch für |x| > 1, aber der Fall ist eigentlich ganz simpel. |
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| 22.11.2010, 19:55 | faulix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Legt das Quotientenkriterium nicht zu Grunde, dass für den betrag von x > 1 Divergenz vorliegt? |
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| 22.11.2010, 20:03 | lol25 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das meine ich auch |
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| 22.11.2010, 20:32 | lol25 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
weiß jemand weiter |
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| 23.11.2010, 09:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. @lol: bitte nicht pushen. 
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