Überprüfen ob eine Menge eine Base ist

21.11.2010, 14:51

Meppel

Überprüfen ob eine Menge eine Base ist

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich weiß die Frage wird bei vielen für ein müdes Lächeln Sorgen, ich bin aber leider keine großer Mathekönner...

Also hier die Frage:

Es sei $\begin{eqnarray*} B=\left\{ e1, e2\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis eines zweidimensionalen reelen Vekorraumes und
$\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} -7 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Überprüfen Sie, ob die Mengen {u,v}, {v,w} und {u,w} ebenfalls Basen sind.

Meine Ideen:
Ich weiß nur, dass die Dinger linear unabhängig sein müssen, also das gelten muss:
$\begin{eqnarray*} \lambda1 v1 +...+ \lambda k v2 \end{eqnarray*}$ (sorry für die schlechte Formatierung, komme mit dem Editor noch nich so ganz klar).

Aber wie mache ich das jetzt mit einer Menge? Ich stehe total aufm Schlauch, ich weiß, dass ich sowas mal in der Schule gemacht habe, aber ich habe keine blassen Schimmer mehr.

Ich danke für eure Hilfe

Viele Grüße

Nico

21.11.2010, 14:55

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Überprüfen ob eine Menge eine Base ist

Zitat:

Original von Meppel
Ich weiß nur, dass die Dinger linear unabhängig sein müssen, also das gelten muss:
$\begin{eqnarray*} \lambda1 v1 +...+ \lambda k v2 \end{eqnarray*}$

Ja, stimmt doch! Dann setz doch mal deine Vektoren ein und multipliziere aus. Du erhälst dann zwei Gleichungen, die du lösen musst. Unbekannte sind hier dann $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ . Alternativ empfehle ich wieder einmal die Determinante, aber wenn die bei euch noch nicht vorkam, kannst du sie nicht benutzen.

21.11.2010, 15:24

Meppel

Auf diesen Beitrag antworten »

Also

1(lamba1)+2(lambda2)=0
-7(lambda1)+0=0

21.11.2010, 15:25

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Vektoren hast du denn jetzt da eingesetzt?

21.11.2010, 15:27

Meppel

Auf diesen Beitrag antworten »

u und v

Gut, verstanden, mach ich das im dreidimensionalen Raum genau so?

21.11.2010, 15:32

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. War gerade nur verwirrt, weil oben immer u steht. Ist aber gut so.

21.11.2010, 15:34

Meppel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja cool, danke dir vielmals, du hast mir sehr geholfen.

ja mit den u's hab ich mich vertran, sind eig. u,v,w
bei u und w, hab ich ne Frage, ich hab das mal mit Substitution probiert für lamba1=2 lambda2
das eingesetzt und die Gleichung stimmt, also ist das auch unabhängig, korrekt?

21.11.2010, 15:39

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsstest du noch mal zeigen. Die Vektoren sind nämlich linear abhängig. Wieso substituierst du? Ist doch ein sehr einfaches Gleichungssystem.

21.11.2010, 15:42

Meppel

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, das ist so ne Macke von mir, meine alter Lehrer war da ein Fetischist auf dem Thema, weiß der Geier warum.

Also okay, wenn die Abhängig sind, was muss ich denn dann noch zeigen, dann ist es doch ausgeschlossen, dass die Menge eine Basis ist.
Oder muss ich nochmal genauer lin. abhängigkeit zeigen?

21.11.2010, 15:51

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstest diese zwei Lambdas explizit angeben. Und das ist ziemlich einfach.

Wenn wir die Ausgangsgleichung umstellen steht da

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot u = \lambda_2 \cdot w \end{eqnarray*}$

Oder auf deutsch: Ist der eine Vektor ein Vielfaches des anderen? Hier ist das so. Siehst du, wie die Lambdas zu wählen sind?

21.11.2010, 15:53

Meppel

Auf diesen Beitrag antworten »

lambda 1 = 2
lambda 2 = 1

Korrekt?

Und das mache ich mit den Vektoren im dreidimensionalen Raum genau so, right?

21.11.2010, 15:56

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Wunderbar. Freude