Beweis: R-Vektorraum Abb(R,R) ist unendlich-dimensional

21.11.2010, 13:54	killiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: R-Vektorraum Abb(R,R) ist unendlich-dimensional Meine Frage: hallo, brauch unbedingt hilfe! ich soll zeigen, dass der R-Vektorraum Abb(R,R) unendlich dinemsional ist. Abb(R, R) ist die Menge aller Abbildungen von R nach R. Dass es ein Vektorraum ist, sollte klar sein. denn zum Beispiel gilt (f + g) + h = f + (g + h). f. a. f,g,h element Abb(R, R). Muss auch nicht bewiesen werden. Meine Ideen: Leider hab ich keinen Plan wie ich das anpacken soll. Hatte überlegt, R folgendermassen in Intervalle zu teilen: Seien Xi, i e Z Teilmengen von R mit Xi :={x e R : x e ](i-1), i]} (gesprochen: X (index) i per Definition gleich der Menge aller x Element R für die gilt: x Element vom Intervall ausgeschlossen i-1 bis einschließlich i). Dummerweise kann ich jetzt nur zeigen, dass Xi wieder ein Untervektorraum ist... bitte helft mir, danke vielmals!
21.11.2010, 14:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Gib doch einfach unendlich viele linear unabhängige Funktionen an. Da diese nicht stetig oder so sein müssen, ist das recht einfach(aber selbst für stetige ist es einfach da R[x] ein Unterraum ist)
21.11.2010, 14:18	killiah	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, das läuft darauf hinaus, dass ich zeige, dass der raum aller polynomfunktionen aus linear unabhängigen Funktionen fi = ai * x^i, i element N erzeugt wird, oder?
21.11.2010, 14:43	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das würde ich als eine schwerere Aufgabe ansehen als deine. Deswegen hab ich das ja auch nur in Klammern erwähnt. Es gibt eine einfachere Menge von linear unabhängigen Funktionen
21.11.2010, 14:47	killiah	Auf diesen Beitrag antworten »
polynomfunktionten x^i sind die einfachsten linear unabhängigen funktionen die mir einfallen... es kann doch nicht genügen wenn ich sage: fi := i -> i, i element R, oder ???
21.11.2010, 14:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Beispiel gebe ich dir mal die Funktion $\begin{eqnarray} f_0(x) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } x=0\\ 0 & \text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$
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21.11.2010, 15:35	killiah	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f_{i} (x) := \end{eqnarray}$ i+1 falls x = i 0 falls x != i aber wie zeige ich, dass die linear unabhängig sind??
21.11.2010, 15:39	killiah	Auf diesen Beitrag antworten »
ist nicht $\begin{eqnarray} f_{2} (x) := 1,5 f_{1} (x) \end{eqnarray}$ ???
21.11.2010, 16:59	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm als Wert immer 1, statt i+1. Aber sonst sehen die Funktionen sehr gut aus. Linear unabhängig ergibt sich doch sofort, nimm dir eine Linearkombination der 0 und werte dann an einer Stelle x aus, wobei f_x in der Linearkombination vorkommt.
22.11.2010, 15:51	killiah	Auf diesen Beitrag antworten »
voll das leichte Beispiel eigentlich, wird aber dochl komplex. jedesmal, wenn ich versuche, mir den graphen vorzustellen hauts mir den Schalter raus vielen Dank für den Schubser

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