Reihe

21.11.2010, 15:05

WD25

Reihe

Hi leute ich brauche hilfe bei einer Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty ( -1 )^n * ( x^n+1 - x^n ) \end{eqnarray*}$

Das n+1 steht zusammen über dem x . Ber 2ten Klammer.

21.11.2010, 15:10

faulix

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RE: Reihe

Zitat:

Original von WD25
Hi leute ich brauche hilfe bei einer Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty ( -1 )^n * ( x^{n+1} - x^n ) \end{eqnarray*}$

Genau über diese Aufgabe habe ich auch gerade nachgedacht. Der zweite Teil des Produkts ist ja eine Teleskopsumme, jedoch der erste Teil nicht, der ist alternierend. Also wie den Grenzwert berechnen?

21.11.2010, 15:14

WD25

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eigentlich haben wir doch noch gar nicht die teleskopsummen durchgenommen oder ?

21.11.2010, 15:18

faulix

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Bei irgendeinem Beispiel haben wir das mal verwendet. Aber explizit durchgenommen nicht.

21.11.2010, 15:29

WD25

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Kann uns jemand anderer im Forum weiter helfen

21.11.2010, 15:34

faulix

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Zitat:

Original von WD25
Kann uns jemand anderer im Forum weiter helfen

Ich bitte auch darum. Es ist der Grenzwert zu bestimmen.

22.11.2010, 01:12

WD25

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Kann mir jemand weiter helfen?

22.11.2010, 09:01

klarsoweit

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RE: Reihe
Wie wäre es mit einer simplen Umformung?

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \cdot (x^{n+1} - x^n) = (-1)^n \cdot x^n \cdot (x - 1) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man das (x-1) vor die Summe ziehen und der Rest sollte einem schon mal begegnet sein.

22.11.2010, 11:06

WD25

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Meinst du es so ( -1 ) ^n * ( x-1 ) * x^n

22.11.2010, 11:07

faulix

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RE: Reihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Wie wäre es mit einer simplen Umformung?

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \cdot (x^{n+1} - x^n) = (-1)^n \cdot x^n \cdot (x - 1) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man das (x-1) vor die Summe ziehen und der Rest sollte einem schon mal begegnet sein.

Vielen Dank.

Also ist X element (0;1( für Konvergenz und konvergiert gegen 0?

22.11.2010, 11:09

Manni Feinbein

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RE: Reihe

Zitat:

Original von faulix

Also ist X element (0;1( für Konvergenz und konvergiert gegen 0?

Was sollen diese Worte bedeuten? verwirrt

22.11.2010, 11:11

WD25

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faulix wie kommst du darauf das es gegen o konvergiert .
Kannst du mir dies erklären?

22.11.2010, 11:15

faulix

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Zitat:

Original von WD25
faulix wie kommst du darauf das es gegen o konvergiert .
Kannst du mir dies erklären?

Eher geraten. Ich dachte mir wenn es konvergiert, dann nähert sich die Potenz immer mehr dem Ursprung an. Durch den alternierenden Teil heben sich fast die Werte auf, so erschien mir 0 logisch. Keine Ahnung ob es stimmt.

22.11.2010, 11:20

wisili

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RE: Reihe
Gemäss klarsoweits Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot (x^{n+1} - x^n) = (x - 1) \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n = ... \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 11:24

faulix

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RE: Reihe

Zitat:

Original von wisili
Gemäss klarsoweits Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot (x^{n+1} - x^n) = (x - 1) \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n = ... \end{eqnarray*}$

Geometrische Reihe, vielen Dank!

22.11.2010, 11:30

WD25

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@ faulix kannst du mir erklären wie man jetzt den grezwert ausrechen kann .
Falls du es verstanden hast, weil ich habe dieses Thema nicht so richtig kapiert.

22.11.2010, 11:38

faulix

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RE: Reihe

Zitat:

Original von wisili
Gemäss klarsoweits Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot (x^{n+1} - x^n) = (x - 1) \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n = ... \end{eqnarray*}$

Also konvergiert diese Folge für x=(0;1( gegen (x-1)/(x+1) ?

22.11.2010, 11:45

Manni Feinbein

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RE: Reihe

Zitat:

Original von faulix

Zitat:

Original von wisili
Gemäss klarsoweits Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot (x^{n+1} - x^n) = (x - 1) \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n = ... \end{eqnarray*}$

Also konvergiert diese Folge für x=(0;1( gegen (x-1)/(x+1) ?

Das ist leider immer noch etwas unvollständig.

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }|x|<1\text{ dann gilt: } \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (x^{n+1} - x^n)=(x-1)\sum_{n=0}^\infty (-x)^n=\frac{x-1}{1-x}. \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 11:47

Manni Feinbein

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RE: Reihe
Kleiner Tippfehler. So ist's besser:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }|x|<1\text{ dann gilt: } \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (x^{n+1} - x^n)=(x-1)\sum_{n=0}^\infty (-x)^n=\frac{x-1}{1+x}. \end{eqnarray*}$ [/quote]

22.11.2010, 11:47

wisili

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RE: Reihe
«+» im Nenner war schon richtig. Aber der Konvergenzbereich reicht tatsächlich auch ins Negative.

x=1 kann man zulassen.

22.11.2010, 11:55

faulix

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Man überlegt sich diese Aufgabe ja anhand der geometrischen Reihe, ist es auch möglich den Definitionsbereich für x rein rechnerisch zu erhalten, mit einer Formel?

22.11.2010, 11:59

Manni Feinbein

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Auch hier kannst Du eine Grenzwertuntersuchung der Partialsumme durchführen oder mittels Quotienten- oder Wurzelkriterium folgern.

22.11.2010, 12:02

faulix

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Zitat:

Original von Manni Feinbein
Auch hier kannst Du eine Grenzwertuntersuchung der Partialsumme durchführen oder mittels Quotienten- oder Wurzelkriterium folgern.

Aber bei Quotienten- und Wurzelkriterium erhalte ich doch absolute Konvergenz und nicht normale Konvergenz, unterscheiden sich da die Werte nicht?

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