Doppeltes Vektorprodukt mit Nabla-Operator

21.11.2010, 15:40	Capo	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppeltes Vektorprodukt mit Nabla-Operator Meine Frage: Hallo, ich habe eine Aufgabe, in der es folgendes zu zeigen gilt: $\begin{eqnarray} \vec{A}\times (\vec{\nabla}\times \vec{A} ) = \frac{1}{2}\vec{\nabla}\vec{A}^{2} - (\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \cdot \vec{A} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun zu meinem Versuch: $\begin{eqnarray} \vec{A}\times (\vec{\nabla}\times \vec{A} ) = \hat{e}_{i} \epsilon_{ijk}A_{j}(\hat{e}_{l}\epsilon_{lmn}\partial_{m}A_{n})_{k} = \hat{e}_{i} \epsilon_{ijk}A_{j}\hat{e}_{k}\epsilon_{kmn}\partial_{m}A_{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \delta_{ik} A_{j} \epsilon_{kij}\epsilon_{kmn} \partial_{m} A_{n} = \delta_{ik} A_{j} (\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})\partial_{m} A_{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = A_{j} (\delta_{km}\delta_{jn}-\delta_{kn}\delta_{jm})\partial_{m} A_{n} = A_{j} \delta_{km} \delta_{jn}(\partial_{m}A_{n})-\delta_{kn}(\delta_{jm}A_{j}\partial_{m})A_{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \delta_{km} \partial_{m} (\delta_{jn} A_{j} A_{n}) - (\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \cdot \vec{A} = \vec{\nabla}\vec{A}^2 - (\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \cdot \vec{A} \end{eqnarray}$ Wie ihr seht fehlt mir das einhalb in der letzten Zeile. Ich bin leider noch Anfänger und habe die Rechenregeln für den epsilon-Tensor nicht drauf (wie ihr sicherlich gemerkt habt ;-) ). Ich hoffe ihr könnt mir meinen Fehler aufzeigen und vlt. eine Homepage bzw. Literatur zu diesem Thema empfehlen. Danke schon mal im Voraus.
21.11.2010, 16:22	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppeltes Vektorprodukt mit Nabla-Operator Hi, vorsichtig in letzer Zeile, da sollte $\begin{eqnarray} (\vec \nabla \vec A)\cdot \vec A \end{eqnarray}$ stehen und nicht $\begin{eqnarray} \vec \nabla (\vec A \cdot \vec A) \end{eqnarray}$ . Vergleiche es mit der vorletzen Zeile. Nun aber $\begin{eqnarray} (\vec \nabla \vec A)\cdot \vec A =\frac 12 [(\vec \nabla \vec A)\cdot \vec A+ \vec A \cdot (\vec \nabla \vec A)] = \frac 12 \vec \nabla (\vec A^2) \end{eqnarray}$ Ist einfach ergänzt zu einer Produktregel.
21.11.2010, 17:01	Capo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppeltes Vektorprodukt mit Nabla-Operator Erstmal danke für die Antwort, sie beseitigt aber leider noch nicht alle Unklarheiten, da mir noch nicht ganz klar ist, wie ich den Ausdruck: $\begin{eqnarray} (\vec{\nabla}\vec{A}) \cdot \vec{A} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A_{j} (\partial_{m} A_{n}) \delta_{km} \delta_{jn} \end{eqnarray}$ zurückführe.
21.11.2010, 23:37	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppeltes Vektorprodukt mit Nabla-Operator $\begin{eqnarray} A_{j} (\partial_{m} A_{n}) \delta_{km} \delta_{jn} =A_{j} (\partial_{m} A_{n}) \delta_{jn}=A_{j} (\partial_{m} A_{j}) \end{eqnarray}$ Ist dir klar, was man mit Kroneckersymbolen macht?
21.11.2010, 23:45	Capo	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell schon, aber was du hier damit machst, soweit reicht mein Wissen nicht. Könntest du vielleicht deine Schritte erläutern, so dass ich nachvollziehen kann, warum bei jedem Schritt ein Delta verschwindt und nachher summierst du ja dann auch über k, wobei die ESK doch nur für doppelt vorkommende Indizes gilt?
22.11.2010, 11:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde ohne Kroneckersymbol rechnen, weil damit (wie so oft hier) ein einfaches Problem in ein kompliziertes verwandelt wird. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} \vec A \times rot(\vec A)=\frac{1}{2}grad(\vec A^2)-\begin{pmatrix} \frac{\partial A_1} {\partial x_1} & \frac{\partial A_1} {\partial x_2} & \frac{\partial A_1} {\partial x_3} \\ \frac{\partial A_2} {\partial x_1} & \frac{\partial A_2} {\partial x_2} & \frac{\partial A_2} {\partial x_3} \\ \frac{\partial A_3} {\partial x_1} & \frac{\partial A_3} {\partial x_2} & \frac{\partial A_3} {\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nimm dir einfach eine beliebige Vektorkomponente und rechne damit die Formel nach. Für die 1.Komponenet erhält man z.B. $\begin{eqnarray} A_2 \left( \frac{\partial A_2}{\partial x_1}- \frac{\partial A_1}{\partial x_2}\right )-A_3 \left( \frac{\partial A_1}{\partial x_3}- \frac{\partial A_3}{\partial x_1}\right )=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x_1} (A_1^2+A_2^2+A_3^2)-grad(A_1)\cdot \vec A \end{eqnarray}$ Um das nachzurechnen, benötigt man nur Schulwissen.
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22.11.2010, 11:35	Capo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber dabei lerne ich ja nichts, es wäre mir schon wichtig das genau zu verstehen.
22.11.2010, 14:40	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir folgendes an $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_i b_j \delta_{i,j} \end{eqnarray}$ wenn du das genau aufschreibst, dann hast du $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_i b_j \delta_{i,j} = <br /> a_1 b_1 \delta_{1,1} + a_1 b_2 \delta_{1,2} + a_1 b_3 \delta_{1,3} <br /> + <br /> a_2 b_1 \delta_{2,1} + a_2 b_2 \delta_{2,2} + a_2 b_3 \delta_{2,3} <br /> +<br /> a_3 b_3 \delta_{3,1} + a_3 b_2 \delta_{3,2} + a_3 b_3 \delta_{3,3}<br /> =<br /> a_1 b_1 \delta_{1,1} + a_2 b_2 \delta_{2,2} + a_3 b_3 \delta_{3,3} <br /> \end{eqnarray}$ D.h. alle Faktoren, wo sich Indizes i und j unterscheiden fallen raus. Da nun aber i=j braucht man keine zwei Indizes und ersetzt sie alle in jeweiligem Term durch einen Index. Dabei ist es egal welchen, man benutzt meist entweder i oder j, man könnte aber was neues wählen, was noch "frei" ist, z.B. k. z.B.: $\begin{eqnarray} a_i b_j \delta_{i,j} = a_i b_i \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a_i b_j \delta_{i,j} = a_j b_j \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a_i b_j \delta_{i,j} = a_k b_k \end{eqnarray}$ Jetzt zurück zu unserem Problem: $\begin{eqnarray} A_{j} (\partial_{m} A_{n}) \delta_{km} \delta_{jn} \end{eqnarray}$ Erstemal haben wir hier $\begin{eqnarray} \delta_{k,m} \end{eqnarray}$ , es bewirkt also k=m, wir nehmen k als unseren neuen Index und ersetzen in diesem Term überall m durch k. $\begin{eqnarray} A_{j} (\partial_{k} A_{n}) \delta_{jn} \end{eqnarray}$ Nun haben wir noch $\begin{eqnarray} \delta_{j,n} \end{eqnarray}$ , also j=n, wir suchen uns z.B. j als neune Index und ersetzen somit alle n in diesem Term durch j: $\begin{eqnarray} A_{j} (\partial_{k} A_{j}) \end{eqnarray}$ Nun kommt j doppelt vor, also summieren: $\begin{eqnarray} \sum_j A_{j} (\partial_{k} A_{j}) \end{eqnarray}$

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