Konvergenz von Folgen

21.11.2010, 16:48

TheDome

Konvergenz von Folgen

Meine Frage:
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} a_n = (n+1)! / 2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_n) mit x_1 = 1 und X_(n+1) = sqrt(1+x_n) . \end{eqnarray*}$

Für eine konvergente Folge gilt(x_n)

$\begin{eqnarray*} \lim_(n\to\infty) \sqrt(1+x_n) = \sqrt(1+ \lim_(n\to\infty) x_n) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also mir wurde bisher zugetragen dass der grenzwert der goldene Schnitt sei. Ich weiss nur nicht wie ich zu dieser Lösung gelangen soll.
Kann mir ein brain helfen, sodass ich halbwegs nachvollziehen kann wie ich an die Lösung gelange?

edit(Abakus): Latexklammern; schau dir ggf. mal unseren Formeleditor an

21.11.2010, 17:24

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von TheDome
$\begin{eqnarray*} a_n = (n+1)! / 2^n \end{eqnarray*}$

Schätze a_n nach unten ab mittels der Ungleichung $\begin{eqnarray*} (n+1)! \geq 3^n \end{eqnarray*}$ für n >= 4. Die Ungleichung mußt du natürlich beweisen, z.B. mit vollständiger Induktion.

Zitat:

Original von TheDome
$\begin{eqnarray*} (x_n) mit x_1 = 1 und X_(n+1) = sqrt(1+x_n) . \end{eqnarray*}$

So sollte das aussehen: $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \end{eqnarray*}$

Zeige, daß die Folge monoton steigt und beschränkt ist.

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