Integration

21.11.2010, 17:11

vinni8

Integration

hi leute,
Ich muss für die uni eine aufgabe lösen und komm da einfach nicht weiter.
Aufgabenstellung: Geben sie für die Funktion f(x)=exp(x) die Bogenlänge des Funktionsgraphen zwischen x=0 und x=ln(2) an.

Dazu muss ich das integral $\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \sqrt{1+ \left(e^{x} \right)^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ lösen. Hab mit substitution versucht, aber ohne erfolg. kann mir einer da weiter helfen.

21.11.2010, 18:20

corvus

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RE: Integration

Zitat:

Original von vinni8

Dazu muss ich das integral $\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \sqrt{1+ \left(e^{x} \right)^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ lösen.
.

schreibe den Integrand zuerst etwas um ->

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \left(e^{x} \right)^{2} } = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+e^{2x} } = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x} }{ \sqrt{1+e^{2x} } } + \frac{1 }{ \sqrt{1+e^{2x} } } \end{eqnarray*}$

das erste Integral wirst du sicher problemlos bewältigen,
der zweite Summand führt dann zu einem hyberbolischen arkustangens :
artanh(..?..)

probiers...

nebenbei:
wie heisst die obere Integrationsgrenze, wenn du
für die Funktion f(x)=exp(x) die Bogenlänge des
Funktionsgraphen zwischen x=0 und x=ln(2)
berechnen sollst?
.

21.11.2010, 19:01

vinni8

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Ja ok der erste teil ist dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+e^{2x} } \end{eqnarray*}$ aber wie kommst du beim 2 teil auf tangenshyperbolikus?

21.11.2010, 19:10

corvus

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Zitat:

Original von vinni8
Ja ok der erste teil ist dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+e^{2x} } \end{eqnarray*}$ Freude

aber wie kommst du beim 2 teil auf tangenshyperbolikus? unglücklich

du solltest nicht auf den tanh(..) kommen -
sondern auf den Areatangens Hyperbolicus ..
artanh(..)

ok?

21.11.2010, 19:48

vinni8

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Muss man beim 2 teil eine substitution durchführen oder wie kommt man da auf artanh. verwirrt

21.11.2010, 21:54

corvus

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Zitat:

Original von vinni8
Muss man beim 2 teil eine substitution durchführen oder wie kommt man da auf artanh. verwirrt

Vorschlag:
versuche dich mal mit dem artanh(..) vertraut zu machen
und schau dir erst mal ein paar Ableitungen an..
also probiere:

$\begin{eqnarray*} f(x)= artanh( a\cdot x ) \Rightarrow f'(x) = ? \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x)= artanh( \sqrt{1+e^{2x} } ) \Rightarrow f'(x) = ? \end{eqnarray*}$

oder .. usw

und wie sieht es dann jeweils mit dem "Rückweg" aus? verwirrt

Vielleicht bringt dir das ja was zur Findung der erwähnten Stammfunktion ?

.

22.11.2010, 10:58

vinni8

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Bin mal etwas anders auf die aufgabe herangegangen:

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{1+e^{2x} } \Rightarrow x=\frac{ln(z^{2}-1) }{2}<br /> \frac{dx}{dz}= z\cdot \frac{1}{(z^{2}-1) } \Rightarrow dx=z\cdot dz\cdot \frac{1}{z^{2}-1 } \end{eqnarray*}$
das alles in das ausgangs integral eingesetzt liefert
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{z^{2} }{z^{2}-1 } \, dz \end{eqnarray*}$

jetzt weis ich ja das $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{z^{2}-1 } \, dz = - arcoth(z) \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt muss ich nur noch das z², das im zähler steht mitberücksichtigen. Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter.

22.11.2010, 11:28

vinni8

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Mir ist gerade noch was eingefallen und zwar kann ich ja $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{z^{2} }{z^{2}-1 } \, dz \end{eqnarray*}$ im zahler mit +1-1 erweitern also
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{z^{2}+1-1 }{z^{2}-1 } \, dz \Rightarrow \int_a^b \! 1+ \frac{1}{z^{2}-1 } \, dz \end{eqnarray*}$
dies führt dann zu $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1+ \frac{1}{z^{2}-1 } \, dz = z-artanh(z) \end{eqnarray*}$
jetzt nur noch rücksubstituieren und ich bekomme $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+e^{2x} }-artanh(\sqrt{1+e^{2x} }) . \end{eqnarray*}$

Ist das nun die richtige Lösung ??

22.11.2010, 12:27

corvus

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Zitat:

Original von vinni8
und ich bekomme

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{1+ \left(e^{x} \right)^{2} } \, dx = \sqrt{1+e^{2x} }-artanh(\sqrt{1+e^{2x} }) + c \end{eqnarray*}$

Ist das nun die richtige Lösung ??

- ja - aber das kannst du doch selbst verifizieren? smile

22.11.2010, 13:32

vinni8

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ja stimmt du hast recht danke Freude

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