Nilpotenz beweisen

21.11.2010, 18:17	Cosmo Lavish	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotenz beweisen Hallo, ich habe eine Aufgabe bei der ich gerade leider nicht weiterkomme... Eine Matrix heißt nilpotent, wenn ein $\begin{eqnarray} k \geq 1 \end{eqnarray}$ existiert für das gilt: $\begin{eqnarray} N^k = 0 \end{eqnarray}$ . Ich soll zeigen: Wenn $\begin{eqnarray} N \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray}$ ist mit: $\begin{eqnarray} N = ( 0, n \cdot _1, ... , n \cdot _{n-1}) \end{eqnarray}$ wobei gilt: $\begin{eqnarray} n \cdot _k = \sum\limits_{j=1}^k e_j n_{jk} \end{eqnarray}$ für k = 1,...,(n-1), dann gilt $\begin{eqnarray} N^k n \cdot _k = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 1 \leq k \leq n-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N = ( 0, n \cdot _1, ... , n \cdot _{n-1}) \end{eqnarray}$ bedeutet doch, dass die erste Spalte der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist, oder? Und die Summenformel bedeutet doch einfach, dass sich jede Spalte k so zusammensetzt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n_{1k} \\ n_{2k} \\ ... \\ n_{(n-1)k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_{1k} \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ n_{2k} \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ n_{(n-1)k} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man nun für ein beliebiges $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ rechnet: $\begin{eqnarray} N^k \cdot n_{ \cdot k} \end{eqnarray}$ , dann verrechnet man eine Matrix im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray}$ k mal mit sich selber und dann einmal mit ihrer k-ten Spalte... Das Ergebnis ist dann eine einzige Spalte... Aber wieso kommt dann 0 raus?

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